Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 6 lat potrzebujesz €20 000. Konto daje 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €20 0003,6% / 4n = 6

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 7,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0007,2% / 12N = 240

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €7 000, €9 000, €12 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 12 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €13 000, €7 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 13 000CF₃ = 7 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 5%n = 3

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 17 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%) kosztuje €1 152. Emitent może ją wykupić przed terminem za 5 lat po cenie wykupu €1 080. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 8%P = €1 152cena wcześniejszego wykupu = €1 080wcześniejszy wykup za 5 lata

YTC = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €12 000 000 i koszcie 12%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%, 9 lat do wykupu), notowanych po €1 109 za sztukę. Stawka podatku wynosi 21%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €12 000 000r_e = 12%obligacje: 2 000 × €1 109kupon = 6%n = 9T = 21%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €30 za sztukę przy koszcie zmiennym €15 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €15 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €12 000?

F = €15 000p = €30v = €15zysk = €12 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 1 500 sztuk po €33 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €8 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 15 %?

Q = 1 500p = €33v = €25F = €8 000%ΔQ = +15%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 16130 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·6 = 24

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,24 = €16 130,28

Odpowiedź

PV = €16 130,28

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1181 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·20 = 240

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,2379

A = 150 000·0,006/(1 − 0,2379) = €1 181,02

Odpowiedź

A = €1 181,02

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −4072 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 7 000/1,15 = 6 086,96

CF₂/(1 + 0,15)² = 9 000/1,322 = 6 805,29

CF₃/(1 + 0,15)³ = 12 000/1,521 = 7 890,19

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 9 000/1,749 = 5 145,78

Zsumuj

NPV = €−4 071,78

Odpowiedź

NPV = €−4 071,78

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 28,95 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 1 104,00

NPV(30%) = −275,38

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·1 104,00/(1 104,00 − (−275,38)) = 29%

dokładnie: NPV(28,95%) = 0 → IRR = 28,95%

Odpowiedź

IRR = 28,95%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1083 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €40,00, i = 0,025, N = 6

Wartość bieżąca kuponów

€40,00·(1 − 0,8623)/0,025 = €220,33

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8623 = €862,30

Cena

P = €1 082,62

Odpowiedź

P = €1 082,62

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 5,832 %

Równanie dla rentowności

1152 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

y = 5%: €1 192,57

y = 6%: €1 144,03

YTC = 5,832%

Odpowiedź

YTC = 5,832%

Rentowność do wykupu wynosi 6,497%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,44 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·4%·(1 − 0,28) = 6,44%

Odpowiedź

WACC = 6,44%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,68 %

Koszt długu (YTM)

1109 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 4,5%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€1 109 = €2 218 000

V = €14 218 000, E/V = 0,844, D/V = 0,156

WACC

WACC = 0,844·12% + 0,156·4,5%·(1 − 0,21) = 10,68%

Odpowiedź

WACC = 10,68%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1800 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 30 − 15 = €15

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (15 000 + 12 000)/15 = 1 800

Odpowiedź

Q = 1 800 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 45 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 1 500·8 = €12 000

Π = 12 000 − 8 000 = €4 000

DOL

DOL = 12 000/4 000 = 3

Zmiana zysku

%ΔΠ = 3·(+15%) = +45%

Odpowiedź

%ΔΠ = +45%

Sprawdzenie: nowy zysk = 1 725·8 − 8 000 = €5 800,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance