Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 3 lat potrzebujesz €5 000. Konto daje 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €5 0005% / 12n = 3

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €10 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 4 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €10 0004,8% / 12N = 48

I = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €60 000 i przynosi €16 000, €26 500, €16 000, €19 500, €17 000 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 26 500CF₃ = 16 000CF₄ = 19 500CF₅ = 17 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €37 000, €30 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 000CF₂ = 30 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 5%n = 8

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 7 lat. Kosztuje €1 182. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 7% (2×)n = 7P = €1 182

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €14,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 5,5%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €13 za sztukę przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €6 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €5 000?

F = €6 000p = €13v = €8zysk = €5 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 6 250 sztuk po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €15 na sztukę i kosztach stałych €75 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 8 %?

Q = 6 250p = €30v = €15F = €75 000%ΔQ = +8%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 4305 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,05/12 = 0,004167

N = 12·3 = 36

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,161 = €4 304,88

Odpowiedź

PV = €4 304,88

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 1011 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 48

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁴⁸) = €229,39

Łączne odsetki

I = N·A − P = 48·229,4 − 10 000 = €1 010,63

Odpowiedź

I = €1 010,63

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,511 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 16 000/1,06 = 15 094,34 → Σ = 15 094,34

rok 2: 26 500/1,124 = 23 584,91 → Σ = 38 679,25

rok 3: 16 000/1,191 = 13 433,91 → Σ = 52 113,15

rok 4: 19 500/1,262 = 15 445,83 → Σ = 67 558,98

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 7 886,85/15 445,83 = 3,511

Odpowiedź

DPB = 3,511 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,077 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 23,42 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 2 013,89

NPV(25%) = −880,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·2 013,89/(2 013,89 − (−880,00)) = 23,48%

dokładnie: NPV(23,42%) = 0 → IRR = 23,42%

Odpowiedź

IRR = 23,42%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 804,2 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,025, N = 16

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €130,55

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6736 = €673,62

Cena

P = €804,17

Odpowiedź

P = €804,17

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 3,994 %

Na okres

C = €35,00, N = 14

Rozwiąż numerycznie

i = 1,997% na półrocze

YTM

YTM = 2·1,997% = 3,994%

Odpowiedź

YTM = 3,994%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,609 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·9% + 0,375·3,5%·(1 − 0,25) = 6,609%

Odpowiedź

WACC = 6,609%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,683 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€14,00 = €35 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·4,5% = 6,85%

Wagi

V = €54 600 000, E/V = 0,641, D/V = 0,359

WACC

WACC = 0,641·6,85% + 0,359·5%·(1 − 0,28) = 5,683%

Odpowiedź

WACC = 5,683%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2200 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 13 − 8 = €5

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (6 000 + 5 000)/5 = 2 200

Odpowiedź

Q = 2 200 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 40 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 6 250·15 = €93 750

Π = 93 750 − 75 000 = €18 750

DOL

DOL = 93 750/18 750 = 5

Zmiana zysku

%ΔΠ = 5·(+8%) = +40%

Odpowiedź

%ΔΠ = +40%

Sprawdzenie: nowy zysk = 6 750·15 − 75 000 = €26 250,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance