Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 22 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 22%m = 12

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €12 000 przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €175 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €12 000A = €1754,8% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €19 000, €12 000, €16 000, €16 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 12 000CF₃ = 16 000CF₄ = 16 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €6 500, €5 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 5 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% i zapada za 10 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 2,5% na 1%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 2%n = 10y₁ = 2,5%y₂ = 1%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 12 lat. Kosztuje €839. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 5% (2×)n = 12P = €839

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €6 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 4 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 5%, 12 lat do wykupu), notowanych po €878 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €6 000 000r_e = 14%obligacje: 4 000 × €878kupon = 5%n = 12T = 25%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €40 przy koszcie zmiennym €25 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €30 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 20 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €6 000 po opodatkowaniu?

p = €40v = €25F = €30 000T = 20%zysk po opodatkowaniu = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 6 400 sztuk po €17 za sztukę, przy koszcie zmiennym €12 na sztukę i kosztach stałych €20 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 15 %?

Q = 6 400p = €17v = €12F = €20 000%ΔQ = +15%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 24,36 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,22/12 = 0,01833

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,01833)¹² − 1 = 1,244 − 1 = 24,36%

Odpowiedź

EAR = 24,36%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 81 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,004/175 = 0,7257

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,7257)/ln(1,004) = 80,31

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

80 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 81

Odpowiedź

N = 81 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 7342 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 19 000/1,08 = 17 592,59

CF₂/(1 + 0,08)² = 12 000/1,166 = 10 288,07

CF₃/(1 + 0,08)³ = 16 000/1,26 = 12 701,32

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 16 000/1,36 = 11 760,48

Zsumuj

NPV = €7 342,45

Odpowiedź

NPV = €7 342,45

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 13,47 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 454,55

NPV(15%) = −189,04

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−189,04)) = 13,53%

dokładnie: NPV(13,47%) = 0 → IRR = 13,47%

Odpowiedź

IRR = 13,47%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 138,5 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €20,00, i = 0,025, N = 10

€20,00·(1 − 0,7812)/0,025 + €1 000·0,7812 = €175,04 + €781,20 = €956,24

Cena przy nowej rentowności

C = €20,00, i = 0,01, N = 10

€20,00·(1 − 0,9053)/0,01 + €1 000·0,9053 = €189,43 + €905,29 = €1 094,71

Zmiana

ΔP = 1 094,71 − 956,24 = €138,47

Odpowiedź

ΔP = €138,47

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 7,006 %

Na okres

C = €25,00, N = 24

Rozwiąż numerycznie

i = 3,503% na półrocze

YTM

YTM = 2·3,503% = 7,006%

Odpowiedź

YTM = 7,006%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,711 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·11% + 0,4444·5%·(1 − 0,28) = 7,711%

Odpowiedź

WACC = 7,711%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,63 %

Koszt długu (YTM)

878 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 6,495%

Wartości rynkowe

D = 4 000·€878 = €3 512 000

V = €9 512 000, E/V = 0,6308, D/V = 0,3692

WACC

WACC = 0,6308·14% + 0,3692·6,495%·(1 − 0,25) = 10,63%

Odpowiedź

WACC = 10,63%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Potrzebny zysk przed opodatkowaniem

6 000/(1 − 0,2) = €7 500

Potrzebna liczba sztuk

Q = (30 000 + 7 500)/15 = 2 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 40 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 6 400·5 = €32 000

Π = 32 000 − 20 000 = €12 000

DOL

DOL = 32 000/12 000 = 2,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2,667·(+15%) = +40%

Odpowiedź

%ΔΠ = +40%

Sprawdzenie: nowy zysk = 7 360·5 − 20 000 = €16 800,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance