Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.

PV = €1 0004,8% / 12n = 5

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0003% / 12N = 360

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €17 000, €14 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 15 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 14 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €3 000, €5 500 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.

r = 10%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 3 000CF₃ = 5 500

MIRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Kupujesz obligację z 12 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 8%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 7%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 6%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 12y₀ = 7%y₁ = 6%

HPR = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €940. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 5%n = 8P = €940

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej WACC wynosi 9,9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 28%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 9,9%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 000 000 akcji po €53,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.

β = 0,9r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €35 za sztukę przy koszcie zmiennym €25 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €20 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €5 000?

F = €20 000p = €35v = €25zysk = €5 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €11 przy koszcie zmiennym €5; produkt B po €38 przy koszcie zmiennym €30. Sprzedają się w stałej strukturze: 2 sztuk A na każde 3 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €10 800 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €11, v_A = €5p_B = €38, v_B = €30A : B = 2 : 3F = €10 800

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1271 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,048/12 = 0,004

N = m·n = 12·5 = 60

Wartość przyszła

FV = 1 000·(1 + 0,004)⁶⁰ = 1 000·1,271 = €1 270,64

Odpowiedź

FV = €1 270,64

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 632,4 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·30 = 360

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,407

A = 150 000·0,0025/(1 − 0,407) = €632,41

Odpowiedź

A = €632,41

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −9769 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 17 000/1,15 = 14 782,61

CF₂/(1 + 0,15)² = 14 000/1,322 = 10 586,01

CF₃/(1 + 0,15)³ = 15 000/1,521 = 9 862,74

Zsumuj

NPV = €−9 768,64

Odpowiedź

NPV = €−9 768,64

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: MIRR = 15,62 %

Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Wartość końcowa wpływów

5 500·1,1² = 6 655,00

3 000·1,1¹ = 3 300,00

5 500·1,1⁰ = 5 500,00

TV = 15 455,00

MIRR

MIRR = (15 455,00/10 000)^1/3 − 1 = 15,62%

Odpowiedź

MIRR = 15,62%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: HPR = 14,67 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena zakupu

C = €80,00, i = 0,07, N = 12

€80,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €635,41 + €444,01 = €1 079,43

Cena sprzedaży

C = €80,00, i = 0,06, N = 11

€80,00·(1 − 0,5268)/0,06 + €1 000·0,5268 = €630,95 + €526,79 = €1 157,74

Stopa zwrotu z okresu posiadania

HPR = (80 + 1 157,74 − 1 079,43)/1 079,43 = 14,67%

Odpowiedź

HPR = 14,67%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,965 %

Równanie dla rentowności

€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €937,90

YTM = 5,965%

Odpowiedź

YTM = 5,965%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 13 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Część dłużna WACC

0,2857·3%·(1 − 0,28) = 0,6171%

Koszt kapitału własnego

r_e = (9,9% − 0,6171%)/0,7143 = 13%

Odpowiedź

r_e = 13%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,084 %

Wartości rynkowe

E = 2 000 000·€53,00 = €106 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,9·4% = 5,1%

Wagi

V = €146 000 000, E/V = 0,726, D/V = 0,274

WACC

WACC = 0,726·5,1% + 0,274·7%·(1 − 0,28) = 5,084%

Odpowiedź

WACC = 5,084%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 35 − 25 = €10

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (20 000 + 5 000)/10 = 2 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1500 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €6, cm_B = €8

Ważona marża pokrycia

(2·6 + 3·8)/5 = €7,20

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 10 800/7,2 = 1 500

A: 600, B: 900

Odpowiedź

Q = 1 500 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance