Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €8 000 przy nominalnej stopie 4 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 8 latach.

PV = €8 0004% / 4n = 8

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €150 na koniec każdego miesiąca przez 28 lat. Konto daje 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €1505,4% / 12N = 336

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €20 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €4 000, €8 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 8 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 000, €7 000, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 7 000CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 5 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 116, gdy rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 5P = €1 116YTM = 2,5%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €920. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 5P = €920

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 12,45%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 21%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 12,45%r_d = 4%T = 21%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €22,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 6%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 6%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €30 000 rocznie i koszt zmienny €8 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €45 000 rocznie i koszt zmienny €2 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €30 000v_A = €8F_B = €45 000v_B = €2

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 1 000 sztuk po €30 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €4 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 12 %?

Q = 1 000p = €30v = €25F = €4 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 11000 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

Wartość przyszła

FV = 8 000·(1 + 0,01)³² = 8 000·1,375 = €10 999,53

Odpowiedź

FV = €10 999,53

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 117348 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·28 = 336

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(4,52 − 1)/0,0045 = €117 347,82

Odpowiedź

FV = €117 347,82

Sam wpłaciłeś €50 400; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −2239 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 4 000/1,1 = 3 636,36

CF₂/(1 + 0,1)² = 8 000/1,21 = 6 611,57

CF₃/(1 + 0,1)³ = 10 000/1,331 = 7 513,15

Zsumuj

NPV = €−2 238,92

Odpowiedź

NPV = €−2 238,92

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 23,19 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 509,26

NPV(25%) = −272,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·509,26/(509,26 − (−272,00)) = 23,26%

dokładnie: NPV(23,19%) = 0 → IRR = 23,19%

Odpowiedź

IRR = 23,19%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,997 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,025)⁻⁵ = €883,85

Kupon

C = (1116 − 883,85)/4,646 = €49,97

Oprocentowanie kuponu

c = 49,97/1000 = 4,997%

Odpowiedź

c = 4,997%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,06 %

Równanie dla rentowności

€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €922,21, P(10%) = €886,28

YTM = 9,06%

Odpowiedź

YTM = 9,06%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 14 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Część dłużna WACC

0,1429·4%·(1 − 0,21) = 0,4514%

Koszt kapitału własnego

r_e = (12,45% − 0,4514%)/0,8571 = 14%

Odpowiedź

r_e = 14%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,13 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€22,50 = €112 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·4% = 7,2%

Wagi

V = €117 400 000, E/V = 0,9583, D/V = 0,04174

WACC

WACC = 0,9583·7,2% + 0,04174·7%·(1 − 0,21) = 7,13%

Odpowiedź

WACC = 7,13%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

30 000 + 8Q = 45 000 + 2Q

Wyznacz Q

Q = (45 000 − 30 000)/(8 − 2) = 2 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 60 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 1 000·5 = €5 000

Π = 5 000 − 4 000 = €1 000

DOL

DOL = 5 000/1 000 = 5

Zmiana zysku

%ΔΠ = 5·(+12%) = +60%

Odpowiedź

%ΔΠ = +60%

Sprawdzenie: nowy zysk = 1 120·5 − 4 000 = €1 600,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance