Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 3 lat potrzebujesz €40 000. Konto daje 2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €40 0002% / 12n = 3

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €150 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 25 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €150 0004,8% / 12N = 300

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €16 000, €13 000, €25 000, €21 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 000CF₃ = 25 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €30 000, €21 000, €33 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 21 000CF₃ = 33 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 5%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 050 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 7,7 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 25 punktów bazowych.

P₀ = €1 050y = 3%D = 7,7Δy = +25 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Firma jest finansowana akcjami zwykłymi o wartości €5 000 000, akcjami uprzywilejowanymi o wartości €1 000 000 i długiem o wartości €3 000 000. Koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt akcji uprzywilejowanych 6%, a koszt długu przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_p = 6%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,6. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 6,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1D/E = 0,6T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €13 przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €25 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 20 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €5 000 po opodatkowaniu?

p = €13v = €8F = €25 000T = 20%zysk po opodatkowaniu = €5 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 5 000 sztuk po €45 za sztukę, przy koszcie zmiennym €30 na sztukę i kosztach stałych €37 500. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 5 %?

Q = 5 000p = €45v = €30F = €37 500%ΔQ = +5%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 37672 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·3 = 36

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,062 = €37 672,46

Odpowiedź

PV = €37 672,46

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 859,5 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·25 = 300

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,3019

A = 150 000·0,004/(1 − 0,3019) = €859,50

Odpowiedź

A = €859,50

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 1242 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 16 000/1,08 = 14 814,81

CF₂/(1 + 0,08)² = 13 000/1,166 = 11 145,40

CF₃/(1 + 0,08)³ = 25 000/1,26 = 19 845,81

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 21 000/1,36 = 15 435,63

Zsumuj

NPV = €1 241,65

Odpowiedź

NPV = €1 241,65

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 30,74 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 523,44

NPV(35%) = −2 842,55

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·523,44/(523,44 − (−2 842,55)) = 30,78%

dokładnie: NPV(30,74%) = 0 → IRR = 30,74%

Odpowiedź

IRR = 30,74%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 928,3 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,025, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,8207)/0,025 = €107,55

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8207 = €820,75

Cena

P = €928,30

Odpowiedź

P = €928,30

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1030 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 7,7/1,03 = 7,476

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −7,476·(0,0025) = −1,869%

P ≈ 1050·(1 − 0,01869) = €1 030,38

Odpowiedź

P = €1 030,38

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,272 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €9 000 000

E/V = 0,5556, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,5556·10% + 0,1111·6% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,3) = 7,272%

Odpowiedź

WACC = 7,272%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 12,39 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1·(1 + 0,742·0,6) = 1,445

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3% + 1,445·6,5% = 12,39%

Odpowiedź

r_e = 12,39%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 6250 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Potrzebny zysk przed opodatkowaniem

5 000/(1 − 0,2) = €6 250

Potrzebna liczba sztuk

Q = (25 000 + 6 250)/5 = 6 250

Odpowiedź

Q = 6 250 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 10 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 5 000·15 = €75 000

Π = 75 000 − 37 500 = €37 500

DOL

DOL = 75 000/37 500 = 2

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2·(+5%) = +10%

Odpowiedź

%ΔΠ = +10%

Sprawdzenie: nowy zysk = 5 250·15 − 37 500 = €41 250,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance