Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 25 % rocznie z kapitalizacją półroczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 25%m = 2

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €200 na koniec każdego miesiąca przez 20 lat. Konto daje 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €2005,4% / 12N = 240

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €6 000, €11 000, €12 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 6 000CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 000, €10 500, €9 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 500CF₃ = 9 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 10 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 8% na 10%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 3%n = 10y₁ = 8%y₂ = 10%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 3% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €1 065. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 3%n = 7P = €1 065

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €6 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 25,8%. Wyznacz WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 2 500 000 akcji po €42,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 20%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 9,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 3,5%r_m = 9,5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €30 000 rocznie i koszt zmienny €25 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €31 500 rocznie i koszt zmienny €22 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €30 000v_A = €25F_B = €31 500v_B = €22

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Produkt sprzedaje się po €23 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €12 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 1 040 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.

F = €12 000p = €23v = €8plan = 1 040

MS = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 26,56 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,25/2 = 0,125

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,125)² − 1 = 1,266 − 1 = 26,56%

Odpowiedź

EAR = 26,56%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 86114 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2,938 − 1)/0,0045 = €86 113,51

Odpowiedź

FV = €86 113,51

Sam wpłaciłeś €48 000; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −4474 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 6 000/1,06 = 5 660,38

CF₂/(1 + 0,06)² = 11 000/1,124 = 9 789,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 12 000/1,191 = 10 075,43

Zsumuj

NPV = €−4 474,23

Odpowiedź

NPV = €−4 474,23

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 29,14 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 1 184,00

NPV(30%) = −232,13

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·1 184,00/(1 184,00 − (−232,13)) = 29,18%

dokładnie: NPV(29,14%) = 0 → IRR = 29,14%

Odpowiedź

IRR = 29,14%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = −94,62 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €30,00, i = 0,08, N = 10

€30,00·(1 − 0,4632)/0,08 + €1 000·0,4632 = €201,30 + €463,19 = €664,50

Cena przy nowej rentowności

C = €30,00, i = 0,1, N = 10

€30,00·(1 − 0,3855)/0,1 + €1 000·0,3855 = €184,34 + €385,54 = €569,88

Zmiana

ΔP = 569,88 − 664,50 = −€94,62

Odpowiedź

ΔP = −€94,62

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 1,996 %

Równanie dla rentowności

€1 065 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72

YTM = 1,996%

Odpowiedź

YTM = 1,996%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,984 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 7,984%

Odpowiedź

WACC = 7,984%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 13,78 %

Wartości rynkowe

E = 2 500 000·€42,50 = €106 250 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,8·6% = 14,3%

Wagi

V = €111 500 000, E/V = 0,9529, D/V = 0,04709

WACC

WACC = 0,9529·14,3% + 0,04709·4%·(1 − 0,2) = 13,78%

Odpowiedź

WACC = 13,78%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

30 000 + 25Q = 31 500 + 22Q

Wyznacz Q

Q = (31 500 − 30 000)/(25 − 22) = 500

Odpowiedź

Q = 500 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: MS = 23,08 %

Ilość w progu rentowności

Q = F/(p − v) = 12 000/15 = 800

Margines bezpieczeństwa

MS = (1 040 − 800)/1 040·100 = 23,08%

Odpowiedź

MS = 23,08%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance