Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 17,5 % rocznie z kapitalizacją półroczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 17,5%m = 2

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €250 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 30 lat. Oprocentowanie wynosi 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €250 0004,2% / 12N = 360

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €13 000 na koniec każdego roku przez 8 lat, a potem można ją sprzedać za €12 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €80 000CF = €13 000S = €12 000n = 8r = 8%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €40 000 i przynosi €20 500, €14 500, €15 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 500CF₂ = 14 500CF₃ = 15 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 4%n = 12

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 5 latach, a jej cena wynosi €920. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 5P = €920

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,5 ma wymaganą stopę zwrotu 8,5%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,5r_e = 8,5%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €11,00 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 1,5%r_m = 7%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €50 przy koszcie zmiennym €45 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €5 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 25 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €1 500 po opodatkowaniu?

p = €50v = €45F = €5 000T = 25%zysk po opodatkowaniu = €1 500

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €13 przy koszcie zmiennym €10; produkt B po €18 przy koszcie zmiennym €10. Sprzedają się w stałej strukturze: 3 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €5 100 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €13, v_A = €10p_B = €18, v_B = €10A : B = 3 : 1F = €5 100

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 18,27 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,175/2 = 0,0875

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0875)² − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%

Odpowiedź

EAR = 18,27%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1223 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,2843

A = 250 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €1 222,54

Odpowiedź

A = €1 222,54

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 1190 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca rocznych przepływów

13 000·5,747 = 74 706,31

Wartość bieżąca wartości końcowej

12 000/1,851 = 6 483,23

NPV

NPV = −80 000 + 74 706,31 + 6 483,23 = €1 189,53

Odpowiedź

NPV = €1 189,53

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 13,37 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 2 265,21

NPV(15%) = −1 018,33

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·2 265,21/(2 265,21 − (−1 018,33)) = 13,45%

dokładnie: NPV(13,37%) = 0 → IRR = 13,37%

Odpowiedź

IRR = 13,37%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1189 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,02, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,6217)/0,02 = €567,42

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6217 = €621,72

Cena

P = €1 189,14

Odpowiedź

P = €1 189,14

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,004 %

Równanie dla rentowności

€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Rozwiąż numerycznie

P(8%) = €920,15, P(9%) = €883,31

YTM = 8,004%

Odpowiedź

YTM = 8,004%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 6 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (8,5% − 1%)/1,5 = 5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 1% + 5% = 6%

Odpowiedź

r_m = 6%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,813 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€11,00 = €11 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,8·5,5% = 11,4%

Wagi

V = €31 400 000, E/V = 0,3503, D/V = 0,6497

WACC

WACC = 0,3503·11,4% + 0,6497·4%·(1 − 0,3) = 5,813%

Odpowiedź

WACC = 5,813%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1400 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Potrzebny zysk przed opodatkowaniem

1 500/(1 − 0,25) = €2 000

Potrzebna liczba sztuk

Q = (5 000 + 2 000)/5 = 1 400

Odpowiedź

Q = 1 400 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1200 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €3, cm_B = €8

Ważona marża pokrycia

(3·3 + 1·8)/4 = €4,25

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 5 100/4,25 = 1 200

A: 900, B: 300

Odpowiedź

Q = 1 200 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance