W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 3 lat potrzebujesz €10 000. Konto daje 4,8 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €10 0004,8% / 4n = 3
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 3 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €15 0003% / 12N = 72
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €40 000, działa przez 4 lat, a jej eksploatacja kosztuje €2 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 5 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.
C0 = €40 000M = €2 000n = 4r = 5%
EAC = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €27 000, €16 500, €20 000 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Kupujesz obligację z 6 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 2%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 2%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 2%n = 6y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €870. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 8%n = 8P = €870
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stawka podatku 21%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma 5 000 000 akcji notowanych po €13,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €26 000 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,70 na akcję, a dywidendy rosną o 3% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €65 000 000 i koszt przed opodatkowaniem 6%. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Produkt sprzedaje się po €35 przy koszcie zmiennym €30 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €6 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 20 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €2 500 po opodatkowaniu?
p = €35v = €30F = €6 000T = 20%zysk po opodatkowaniu = €2 500
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje 3 200 sztuk po €35 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €20 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży spadnie o 20 %?
Q = 3 200p = €35v = €25F = €20 000%ΔQ = −20%
%ΔΠ = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 8666 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·3 = 12
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,154 = €8 666,30
Odpowiedź
PV = €8 666,30
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 227,9 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8355) = €227,91
Odpowiedź
A = €227,91
3.NPV i IRR
Odpowiedź: EAC = 13280 €
Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − 1,05−4)/0,05 = 3,546
Zannualizowana cena zakupu
40 000/3,546 = 11 280,47
EAC
EAC = 11 280,47 + 2 000 = €13 280,47
Odpowiedź
EAC = €13 280,47
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 12,3 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
27 000·1,12 = 32 670,00
16 500·1,11 = 18 150,00
20 000·1,10 = 20 000,00
TV = 70 820,00
MIRR
MIRR = (70 820,00/50 000)1/3 − 1 = 12,3%
Odpowiedź
MIRR = 12,3%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: HPR = 4,889 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62
YTM = 10,48%
Odpowiedź
YTM = 10,48%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,301 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·3%·(1 − 0,21) = 7,301%
Odpowiedź
WACC = 7,301%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 10,63 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt kapitału własnego
D1 = 1,7·1,03 = €1,75
re = 1,751/13 + 0,03 = 16,47%
Wartości rynkowe
E = 5 000 000·€13,00 = €65 000 000
V = €130 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·16,47% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 10,63%
Odpowiedź
WACC = 10,63%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 1825 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Potrzebny zysk przed opodatkowaniem
2 500/(1 − 0,2) = €3 125
Potrzebna liczba sztuk
Q = (6 000 + 3 125)/5 = 1 825
Odpowiedź
Q = 1 825 szt.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: %ΔΠ = −53,33 %
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.