Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 15 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 15%m = 4

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 25 lat przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 18? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €150 0005,4% / 12N = 300k = 216

B = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €9 500, €10 500, €10 500, €9 500, €17 500 na koniec lat od 1 do 5. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 9 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 9 500CF₅ = 17 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €16 500, €18 500, €15 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 18 500CF₃ = 15 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 7 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 4%n = 7

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 7 latach, a jej cena wynosi €905. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 7P = €905

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €6 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 9,03%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 9,03%r_d = 4%T = 20%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 5 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%, 5 lat do wykupu), notowanych po €1 021 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25,8%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €5 000 000r_e = 14%obligacje: 5 000 × €1 021kupon = 7%n = 5T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Firma sprzedaje 750 sztuk po €33 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €30 na sztukę, a koszty stałe €1 500. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.

Q = 750p = €33v = €30F = €1 500

DOL =

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 3 000 sztuk po €22 za sztukę, przy koszcie zmiennym €12 na sztukę i kosztach stałych €15 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 5 %?

Q = 3 000p = €22v = €12F = €15 000%ΔQ = +5%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 15,87 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,15/4 = 0,0375

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0375)⁴ − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%

Odpowiedź

EAR = 15,87%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 63689 €

Rata miesięczna

i = 0,0045, N = 300

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €912,19

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 300 − 216 = 84

B = 912,2·(1 − (1 + 0,0045)⁻⁸⁴)/0,0045 = €63 689,08

Odpowiedź

B = €63 689,08

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,578 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 9 500/1,08 = 8 796,30 → Σ = 8 796,30

rok 2: 10 500/1,166 = 9 002,06 → Σ = 17 798,35

rok 3: 10 500/1,26 = 8 335,24 → Σ = 26 133,59

rok 4: 9 500/1,36 = 6 982,78 → Σ = 33 116,38

rok 5: 17 500/1,469 = 11 910,21 → Σ = 45 026,58

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 6 883,62/11 910,21 = 4,578

Odpowiedź

DPB = 4,578 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (4 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 45,33 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(45%) = 98,61

NPV(50%) = −1 333,33

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 45 + 5·98,61/(98,61 − (−1 333,33)) = 45,34%

dokładnie: NPV(45,33%) = 0 → IRR = 45,33%

Odpowiedź

IRR = 45,33%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1061 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,02, N = 14

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,7579)/0,02 = €302,66

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7579 = €757,88

Cena

P = €1 060,53

Odpowiedź

P = €1 060,53

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 9,948 %

Równanie dla rentowności

€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Rozwiąż numerycznie

P(9%) = €949,67, P(10%) = €902,63

YTM = 9,948%

Odpowiedź

YTM = 9,948%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Część dłużna WACC

0,1429·4%·(1 − 0,2) = 0,4571%

Koszt kapitału własnego

r_e = (9,03% − 0,4571%)/0,8571 = 10%

Odpowiedź

r_e = 10%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,362 %

Koszt długu (YTM)

1021 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 6,495%

Wartości rynkowe

D = 5 000·€1 021 = €5 105 000

V = €10 105 000, E/V = 0,4948, D/V = 0,5052

WACC

WACC = 0,4948·14% + 0,5052·6,495%·(1 − 0,258) = 9,362%

Odpowiedź

WACC = 9,362%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: DOL = 3

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Całkowita marża pokrycia

CM = 750·(33 − 30) = €2 250

Zysk operacyjny

Π = 2 250 − 1 500 = €750

DOL

DOL = 2 250/750 = 3

Odpowiedź

DOL = 3

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 10 %

Marża pokrycia i zysk

CM = 3 000·10 = €30 000

Π = 30 000 − 15 000 = €15 000

DOL

DOL = 30 000/15 000 = 2

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2·(+5%) = +10%

Odpowiedź

%ΔΠ = +10%

Sprawdzenie: nowy zysk = 3 150·10 − 15 000 = €16 500,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance