W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €10 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 4 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 6 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €10 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €30 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 7 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €30 0004,8% / 12N = 84
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €16 000, €9 500, €11 500, €16 000 na koniec lat od 1 do 4. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €26 500, €24 500, €27 500 na koniec lat od 1 do 3. Przepływy można reinwestować przy koszcie kapitału 10 %. Wyznacz zmodyfikowaną wewnętrzną stopę zwrotu MIRR w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 3%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja jest notowana po €940 przy rentowności do wykupu 5% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 4,4 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 50 punktów bazowych.
P0 = €940y = 5%D = 4,4Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,75. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 25%. Wyznacz WACC.
D/E = 0,75re = 8%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,8. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,75. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 7%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 0,8D/E = 0,75T = 30%rf = 1%rm − rf = 7%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Firma sprzedaje 1 250 sztuk po €26 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €6 na sztukę, a koszty stałe €10 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 1 250p = €26v = €6F = €10 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €23 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €7 500 rocznie. Planowana sprzedaż to 580 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €7 500p = €23v = €8plan = 580
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 500000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,004, N = 84
A = 30 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−84) = €421,20
Łączne odsetki
I = N·A − P = 84·421,2 − 30 000 = €5 381,11
Odpowiedź
I = €5 381,11
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,536 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 16 000/1,06 = 15 094,34 → Σ = 15 094,34
rok 2: 9 500/1,124 = 8 454,97 → Σ = 23 549,31
rok 3: 11 500/1,191 = 9 655,62 → Σ = 33 204,93
rok 4: 16 000/1,262 = 12 673,50 → Σ = 45 878,43
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 6 795,07/12 673,50 = 3,536
Odpowiedź
DPB = 3,536 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,188 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: MIRR = 20,05 %
Zmodyfikowana IRR: skapitalizuj każdy wpływ do końca projektu według stopy reinwestycji (zwykle kosztu kapitału), aby otrzymać wartość końcową TV. MIRR to stopa, która zamienia nakład początkowy w TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Wartość końcowa wpływów
26 500·1,12 = 32 065,00
24 500·1,11 = 26 950,00
27 500·1,10 = 27 500,00
TV = 86 515,00
MIRR
MIRR = (86 515,00/50 000)1/3 − 1 = 20,05%
Odpowiedź
MIRR = 20,05%
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1235 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €30,00, i = 0,015, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€30,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €470,18
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7649 = €764,91
Cena
P = €1 235,09
Odpowiedź
P = €1 235,09
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 920,3 €
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Zmodyfikowana duration
Dmod = 4,4/1,05 = 4,19
Szacowana zmiana ceny
%ΔP ≈ −4,19·(0,005) = −2,095%
P ≈ 940·(1 − 0,02095) = €920,30
Odpowiedź
P = €920,30
Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,821 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi z D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·7%·(1 − 0,25) = 6,821%
Odpowiedź
WACC = 6,821%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 9,54 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 0,8·(1 + 0,7·0,75) = 1,22
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 1% + 1,22·7% = 9,54%
Odpowiedź
re = 9,54%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: DOL = 1,667
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 1 250·(26 − 6) = €25 000
Zysk operacyjny
Π = 25 000 − 10 000 = €15 000
DOL
DOL = 25 000/15 000 = 1,667
Odpowiedź
DOL = 1,667
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: MS = 13,79 %
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).