Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 9 latach.

PV = €2 0003,6% / 12n = 9

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €500 na koniec każdego miesiąca przez 28 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €5002,4% / 12N = 336

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €16 000, €18 000, €16 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €12 500, €12 000, €16 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 500CF₂ = 12 000CF₃ = 16 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 8%YTM = 3%n = 9

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €1 050 przy rentowności do wykupu 6% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 8,8 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 100 punktów bazowych.

P₀ = €1 050y = 6%D = 8,8Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3,5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €43,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3,5%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 11%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 4%r_m = 11%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €35 za sztukę przy koszcie zmiennym €25 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €40 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €20 000?

F = €40 000p = €35v = €25zysk = €20 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €18 przy koszcie zmiennym €10; produkt B po €40 przy koszcie zmiennym €25. Sprzedają się w stałej strukturze: 2 sztuk A na każde 3 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €30 500 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €18, v_A = €10p_B = €40, v_B = €25A : B = 2 : 3F = €30 500

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2764 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·9 = 108

Wartość przyszła

FV = 2 000·(1 + 0,003)¹⁰⁸ = 2 000·1,382 = €2 763,95

Odpowiedź

FV = €2 763,95

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 239209 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·28 = 336

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,957 − 1)/0,002 = €239 209,01

Odpowiedź

FV = €239 209,01

Sam wpłaciłeś €168 000; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −3557 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 16 000/1,1 = 14 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 18 000/1,21 = 14 876,03

CF₃/(1 + 0,1)³ = 16 000/1,331 = 12 021,04

Zsumuj

NPV = €−3 557,48

Odpowiedź

NPV = €−3 557,48

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 27,25 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 872,00

NPV(30%) = −1 001,37

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·872,00/(872,00 − (−1 001,37)) = 27,33%

dokładnie: NPV(27,25%) = 0 → IRR = 27,25%

Odpowiedź

IRR = 27,25%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1392 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €40,00, i = 0,015, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€40,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €626,90

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7649 = €764,91

Cena

P = €1 391,81

Odpowiedź

P = €1 391,81

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1137 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 8,8/1,06 = 8,302

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −8,302·(−0,01) = 8,302%

P ≈ 1050·(1 + 0,08302) = €1 137,17

Odpowiedź

P = €1 137,17

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,219 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,21) = 7,219%

Odpowiedź

WACC = 7,219%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,313 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€43,00 = €215 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 0,6·7% = 8,2%

Wagi

V = €254 200 000, E/V = 0,8458, D/V = 0,1542

WACC

WACC = 0,8458·8,2% + 0,1542·3,5%·(1 − 0,3) = 7,313%

Odpowiedź

WACC = 7,313%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 6000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 35 − 25 = €10

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (40 000 + 20 000)/10 = 6 000

Odpowiedź

Q = 6 000 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €8, cm_B = €15

Ważona marża pokrycia

(2·8 + 3·15)/5 = €12,20

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 30 500/12,2 = 2 500

A: 1 000, B: 1 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance