Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €12 0005% / 4n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 20 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 11? Wyznacz saldo zadłużenia B.

P = €150 0004,8% / 12N = 240k = 132

B = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €18 000, €22 000, €9 000, €15 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 18 000CF₂ = 22 000CF₃ = 9 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €18 000, €18 000, €18 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 000CF₂ = 18 000CF₃ = 18 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 3%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja z 10 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 9%) kosztuje €1 067. Emitent może ją wykupić przed terminem za 6 lat po cenie wykupu €1 090. Wyznacz rentowność do wcześniejszego wykupu YTC w procentach.

F = €1 000kupon = 9%P = €1 067cena wcześniejszego wykupu = €1 090wcześniejszy wykup za 6 lata

YTC = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €5 000 000 i koszcie 14%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 6 lat do wykupu), notowanych po €974 za sztukę. Stawka podatku wynosi 20%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €5 000 000r_e = 14%obligacje: 2 000 × €974kupon = 4%n = 6T = 20%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €25 000 rocznie i koszt zmienny €8 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €26 500 rocznie i koszt zmienny €5 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €25 000v_A = €8F_B = €26 500v_B = €5

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €10 przy koszcie zmiennym €5; produkt B po €25 przy koszcie zmiennym €10. Sprzedają się w stałej strukturze: 5 sztuk A na każde 2 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €33 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €10, v_A = €5p_B = €25, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €33 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 19723 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·10 = 40

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,0125)⁴⁰ = 12 000·1,644 = €19 723,43

Odpowiedź

FV = €19 723,43

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: B = 85232 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 240

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻²⁴⁰) = €973,44

Wartość bieżąca pozostałych rat

To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.

N − k = 240 − 132 = 108

B = 973,4·(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁰⁸)/0,004 = €85 231,87

Odpowiedź

B = €85 231,87

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 10999 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 18 000/1,06 = 16 981,13

CF₂/(1 + 0,06)² = 22 000/1,124 = 19 579,92

CF₃/(1 + 0,06)³ = 9 000/1,191 = 7 556,57

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 15 000/1,262 = 11 881,40

Zsumuj

NPV = €10 999,03

Odpowiedź

NPV = €10 999,03

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 51,65 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(50%) = 481,48

NPV(55%) = −926,96

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 50 + 5·481,48/(481,48 − (−926,96)) = 51,71%

dokładnie: NPV(51,65%) = 0 → IRR = 51,65%

Odpowiedź

IRR = 51,65%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1037 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,015, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,8877)/0,015 = €149,72

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8877 = €887,71

Cena

P = €1 037,43

Odpowiedź

P = €1 037,43

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTC = 8,723 %

Równanie dla rentowności

1067 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1090/(1 + y)⁶

Rozwiąż numerycznie

y = 8%: €1 102,94

y = 9%: €1 053,66

YTC = 8,723%

Odpowiedź

YTC = 8,723%

Rentowność do wykupu wynosi 8,001%. Inwestorzy w obligację notowaną z premią oczekują jej wcześniejszego wykupu, więc niższa rentowność do wcześniejszego wykupu jest bardziej realistyczna.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,089 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

WACC

WACC = 0,4444·12% + 0,5556·4%·(1 − 0,21) = 7,089%

Odpowiedź

WACC = 7,089%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 11,09 %

Koszt długu (YTM)

974 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 4,504%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€974 = €1 948 000

V = €6 948 000, E/V = 0,7196, D/V = 0,2804

WACC

WACC = 0,7196·14% + 0,2804·4,504%·(1 − 0,2) = 11,09%

Odpowiedź

WACC = 11,09%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

25 000 + 8Q = 26 500 + 5Q

Wyznacz Q

Q = (26 500 − 25 000)/(8 − 5) = 500

Odpowiedź

Q = 500 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 4200 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €5, cm_B = €15

Ważona marża pokrycia

(5·5 + 2·15)/7 = €7,86

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 33 000/7,857 = 4 200

A: 3 000, B: 1 200

Odpowiedź

Q = 4 200 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance