W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 6 lat potrzebujesz €40 000. Konto daje 3 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €40 0003% / 4n = 6
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €10 000 przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €250 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €10 000A = €2504,8% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €27 000, a potem przepływ rośnie o 1 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €27 000g = 1%r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €14 500, €14 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 9 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 6%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 8%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 9%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 9y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €840. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 9P = €840
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej WACC wynosi 10,22%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 20%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Spółka ma 2 500 000 akcji po €43,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 7%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €25 000 rocznie i koszt zmienny €18 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €29 000 rocznie i koszt zmienny €14 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?
FA = €25 000vA = €18FB = €29 000vB = €14
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €26 za sztukę, przy koszcie zmiennym €6 na sztukę i kosztach stałych €20 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 1 250 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €20 000p = €26v = €6plan = 1 250
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 33433 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·6 = 24
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,196 = €33 433,26
Odpowiedź
PV = €33 433,26
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: N = 44 raty
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,004/250 = 0,84
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,84)/ln(1,004) = 43,68
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
43 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 44
Odpowiedź
N = 44 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 50000 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 27 000/(0,1 − 0,01) = 300 000,00
NPV
NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00
Odpowiedź
NPV = €50 000,00
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 9,256 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 1 507,94
NPV(10%) = −247,93
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€840 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €869,70, P(8%) = €812,59
YTM = 7,509%
Odpowiedź
YTM = 7,509%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 11 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
Część dłużna WACC
0,1111·5%·(1 − 0,2) = 0,4444%
Koszt kapitału własnego
re = (10,22% − 0,4444%)/0,8889 = 11%
Odpowiedź
re = 11%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,354 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Równe koszty całkowite
25 000 + 18Q = 29 000 + 14Q
Wyznacz Q
Q = (29 000 − 25 000)/(18 − 14) = 1 000
Odpowiedź
Q = 1 000 szt.
Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: MS = 20 %
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).