Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €3 000 na koniec każdego roku przez 4 lat. Stopa procentowa wynosi 3 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €3 000i = 3%n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Na początku każdego roku przez 29 lat wpłacasz €2 500, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 29? Wyznacz FV.

A = €2 500i = 6%n = 29

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €20 000 i przynosi €6 000 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000CF₅ = 6 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 000, €6 000, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 2% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 2%YTM = 4%n = 9

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €910. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €910

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €5 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 13%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €29,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.

β = 0,6r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €11 za sztukę przy koszcie zmiennym €6 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €5 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?

F = €5 000p = €11v = €6zysk = €2 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Produkt sprzedaje się po €38 za sztukę, przy koszcie zmiennym €30 na sztukę i kosztach stałych €32 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 6 400 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.

F = €32 000p = €38v = €30plan = 6 400

MS = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 11151 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8885)/0,03 = 3,717

Wartość bieżąca

PV = 3 000·3,717 = €11 151,30

Odpowiedź

PV = €11 151,30

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 195145 €

Współczynnik renty zwykłej

((1 + 0,06)²⁹ − 1)/0,06 = 73,64

Renta płatna z góry

Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.

FV = 2 500·73,64·1,06 = €195 145,47

Odpowiedź

FV = €195 145,47

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,742 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 6 000/1,05 = 5 714,29 → Σ = 5 714,29

rok 2: 6 000/1,103 = 5 442,18 → Σ = 11 156,46

rok 3: 6 000/1,158 = 5 183,03 → Σ = 16 339,49

rok 4: 6 000/1,216 = 4 936,21 → Σ = 21 275,70

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 3 660,51/4 936,21 = 3,742

Odpowiedź

DPB = 3,742 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,333 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 24,22 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(20%) = 648,15

NPV(25%) = −112,00

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 20 + 5·648,15/(648,15 − (−112,00)) = 24,26%

dokładnie: NPV(24,22%) = 0 → IRR = 24,22%

Odpowiedź

IRR = 24,22%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 850,1 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €10,00, i = 0,02, N = 18

Wartość bieżąca kuponów

€10,00·(1 − 0,7002)/0,02 = €149,92

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7002 = €700,16

Cena

P = €850,08

Odpowiedź

P = €850,08

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 7,539 %

Równanie dla rentowności

€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Rozwiąż numerycznie

P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07

YTM = 7,539%

Odpowiedź

YTM = 7,539%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,925 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13% + 0,375·6%·(1 − 0,2) = 9,925%

Odpowiedź

WACC = 9,925%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 4,784 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€29,00 = €116 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,6·4,5% = 5,2%

Wagi

V = €156 800 000, E/V = 0,7398, D/V = 0,2602

WACC

WACC = 0,7398·5,2% + 0,2602·5%·(1 − 0,28) = 4,784%

Odpowiedź

WACC = 4,784%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1400 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 11 − 6 = €5

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (5 000 + 2 000)/5 = 1 400

Odpowiedź

Q = 1 400 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: MS = 37,5 %

Ilość w progu rentowności

Q = F/(p − v) = 32 000/8 = 4 000

Margines bezpieczeństwa

MS = (6 400 − 4 000)/6 400·100 = 37,5%

Odpowiedź

MS = 37,5%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance