Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €12 000 przy nominalnej stopie 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.

PV = €12 0002% / 4n = 10

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €15 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 3,6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €15 0003,6% / 12N = 72

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €11 000, €7 000, €13 000, €9 000 na koniec lat od 1 do 4. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 7 000CF₃ = 13 000CF₄ = 9 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €13 000, €10 500, €12 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 10 500CF₃ = 12 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 7 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 7%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?

F = €1 000kupon = 7%n = 7y₁ = 9%y₂ = 7%

ΔP = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 8%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 7%n = 6YTM = 8%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €1 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 4 000 000 akcji po €9,00 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €1 050 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 5%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 4%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.

β = 0,9r_f = 4%r_m = 9%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €30 za sztukę przy koszcie zmiennym €18 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €12 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €12 000p = €30v = €18zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Produkt sprzedaje się po €21 za sztukę, przy koszcie zmiennym €18 na sztukę i kosztach stałych €4 500 rocznie. Planowana sprzedaż to 2 400 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.

F = €4 500p = €21v = €18plan = 2 400

MS = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 14650 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·10 = 40

Wartość przyszła

FV = 12 000·(1 + 0,005)⁴⁰ = 12 000·1,221 = €14 649,53

Odpowiedź

FV = €14 649,53

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 232 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·6 = 72

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,806

A = 15 000·0,003/(1 − 0,806) = €231,95

Odpowiedź

A = €231,95

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,263 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 11 000/1,05 = 10 476,19 → Σ = 10 476,19

rok 2: 7 000/1,103 = 6 349,21 → Σ = 16 825,40

rok 3: 13 000/1,158 = 11 229,89 → Σ = 28 055,29

rok 4: 9 000/1,216 = 7 404,32 → Σ = 35 459,61

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 1 944,71/7 404,32 = 3,263

Odpowiedź

DPB = 3,263 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,923 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 36,79 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(35%) = 471,47

NPV(40%) = −801,75

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 35 + 5·471,47/(471,47 − (−801,75)) = 36,85%

dokładnie: NPV(36,79%) = 0 → IRR = 36,79%

Odpowiedź

IRR = 36,79%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: ΔP = 100,7 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Cena przy starej rentowności

C = €70,00, i = 0,09, N = 7

€70,00·(1 − 0,547)/0,09 + €1 000·0,547 = €352,31 + €547,03 = €899,34

Cena przy nowej rentowności

C = €70,00, i = 0,07, N = 7

€70,00·(1 − 0,6227)/0,07 + €1 000·0,6227 = €377,25 + €622,75 = €1 000,00

Zmiana

ΔP = 1 000,00 − 899,34 = €100,66

Odpowiedź

ΔP = €100,66

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,076 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 70/1,08 = 64,81, t·PV = 64,81

t = 2: 70/1,166 = 60,01, t·PV = 120,03

t = 3: 70/1,26 = 55,57, t·PV = 166,70

t = 4: 70/1,36 = 51,45, t·PV = 205,81

t = 5: 70/1,469 = 47,64, t·PV = 238,20

t = 6: 1070/1,587 = 674,28, t·PV = 4 045,69

Duration

P = 953,77

D = 4 841,25/953,77 = 5,076

Odpowiedź

D = 5,076 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,39 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·12% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 10,39%

Odpowiedź

WACC = 10,39%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,942 %

Wartości rynkowe

E = 4 000 000·€9,00 = €36 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 0,9·5% = 8,5%

Wagi

V = €78 000 000, E/V = 0,4615, D/V = 0,5385

WACC

WACC = 0,4615·8,5% + 0,5385·5%·(1 − 0,25) = 5,942%

Odpowiedź

WACC = 5,942%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 30 − 18 = €12

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (12 000 + 6 000)/12 = 1 500

Odpowiedź

Q = 1 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: MS = 37,5 %

Ilość w progu rentowności

Q = F/(p − v) = 4 500/3 = 1 500

Margines bezpieczeństwa

MS = (2 400 − 1 500)/2 400·100 = 37,5%

Odpowiedź

MS = 37,5%

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance