Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 21 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.

r = 21%m = 12

EAR = %

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 23 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €504,8% / 12N = 276

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €45 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €9 000, €21 000, €10 000. Koszt kapitału wynosi 7,000000000000001 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 21 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €10 500, €12 000, €11 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 12 000CF₃ = 11 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 4 latach. Rentowność do wykupu wynosi 5,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 5%YTM = 5,5%n = 4

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 3%n = 6YTM = 2,5%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma wskaźnik dług/kapitał własny (według wartości rynkowych) 0,25. Jej koszt kapitału własnego wynosi 14%, koszt długu przed opodatkowaniem 7%, a stawka podatku 20%. Wyznacz WACC.

D/E = 0,25r_e = 14%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €52,50 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 020 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 3,5%, a stopa zwrotu z rynku 10%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €6 za sztukę przy koszcie zmiennym €4 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €8 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €5 000?

F = €8 000p = €6v = €4zysk = €5 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 2 400 sztuk po €45 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €30 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 10 %?

Q = 2 400p = €45v = €25F = €30 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: EAR = 23,14 %

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa na okres

r/m = 0,21/12 = 0,0175

Kapitalizacja w ciągu roku

EAR = (1 + 0,0175)¹² − 1 = 1,231 − 1 = 23,14%

Odpowiedź

EAR = 23,14%

Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 25120 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·23 = 276

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,01 − 1)/0,004 = €25 119,65

Odpowiedź

FV = €25 119,65

Sam wpłaciłeś €13 800; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −10084 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 9 000/1,07 = 8 411,21

CF₂/(1 + 0,07)² = 21 000/1,145 = 18 342,21

CF₃/(1 + 0,07)³ = 10 000/1,225 = 8 162,98

Zsumuj

NPV = €−10 083,59

Odpowiedź

NPV = €−10 083,59

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,43 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 411,93

NPV(35%) = −963,78

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·411,93/(411,93 − (−963,78)) = 31,5%

dokładnie: NPV(31,43%) = 0 → IRR = 31,43%

Odpowiedź

IRR = 31,43%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 982,3 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €25,00, i = 0,0275, N = 8

Wartość bieżąca kuponów

€25,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €177,36

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,8049 = €804,91

Cena

P = €982,26

Odpowiedź

P = €982,26

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 5,586 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 30/1,025 = 29,27, t·PV = 29,27

t = 2: 30/1,051 = 28,55, t·PV = 57,11

t = 3: 30/1,077 = 27,86, t·PV = 83,57

t = 4: 30/1,104 = 27,18, t·PV = 108,71

t = 5: 30/1,131 = 26,52, t·PV = 132,58

t = 6: 1030/1,16 = 888,17, t·PV = 5 328,99

Duration

P = 1 027,54

D = 5 740,24/1 027,54 = 5,586

Odpowiedź

D = 5,586 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 12,32 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi z D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·14% + 0,2·7%·(1 − 0,2) = 12,32%

Odpowiedź

WACC = 12,32%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 14,84 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€52,50 = €262 500 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,8·6,5% = 15,2%

Wagi

V = €272 700 000, E/V = 0,9626, D/V = 0,0374

WACC

WACC = 0,9626·15,2% + 0,0374·7%·(1 − 0,21) = 14,84%

Odpowiedź

WACC = 14,84%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 6500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 6 − 4 = €2

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (8 000 + 5 000)/2 = 6 500

Odpowiedź

Q = 6 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 26,67 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 2 400·20 = €48 000

Π = 48 000 − 30 000 = €18 000

DOL

DOL = 48 000/18 000 = 2,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2,667·(+10%) = +26,67%

Odpowiedź

%ΔΠ = +26,67%

Sprawdzenie: nowy zysk = 2 640·20 − 30 000 = €22 800,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance