W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €2 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 4 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 9 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €2 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Pożyczasz €25 000 przy 5,4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €600 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.
P = €25 000A = €6005,4% / 12
N = raty
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €250 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €16 000, a potem przepływ rośnie o 3 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €16 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €40 000 i przynosi €23 000, €16 000, €8 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €45 000 i przynosi €12 500, €19 500, €23 000. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 10 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 3%n = 10
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 6% zostanie wykupiona po 8 latach, a jej cena wynosi €1 065. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 6%n = 8P = €1 065
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej WACC wynosi 8,77%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stawka podatku 28%. Wyznacz koszt kapitału własnego re.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,25. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1,1D/E = 0,25T = 28%rf = 3%rm − rf = 4%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt sprzedaje się po €18 przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €15 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 25 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €7 500 po opodatkowaniu?
p = €18v = €8F = €15 000T = 25%zysk po opodatkowaniu = €7 500
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €16 przy koszcie zmiennym €12; produkt B po €30 przy koszcie zmiennym €10. Sprzedają się w stałej strukturze: 4 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €14 400 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.
pA = €16, vA = €12pB = €30, vB = €10A : B = 4 : 1F = €14 400
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 40000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Przekształć wzór na rentę
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0045/600 = 0,8125
Rozwiąż za pomocą logarytmów
N = −ln(0,8125)/ln(1,004) = 46,25
Zaokrąglij w górę do pełnych rat
46 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.
N = 47
Odpowiedź
N = 47 raty
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −21429 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 16 000/(0,1 − 0,03) = 228 571,43
NPV
NPV = 228 571,43 − 250 000 = −€21 428,57
Odpowiedź
NPV = −€21 428,57
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 8,636 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 12 500 − 23 000 = −10 500
ΔCF2 = 19 500 − 16 000 = 3 500
ΔCF3 = 23 000 − 8 000 = 15 000
IRR różnicy
NPVΔ(8%) = 185,95
NPVΔ(9%) = −104,40
r* = 8,636%
Odpowiedź
r* = 8,636%
Sprawdzenie: przy 8,636% oba NPV wynoszą €968,83.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1343 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, i = 0,015, N = 20
Wartość bieżąca kuponów
€35,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €600,90
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7425 = €742,47
Cena
P = €1 343,37
Odpowiedź
P = €1 343,37
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 4,995 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Rozwiąż numerycznie
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,995%
Odpowiedź
YTM = 4,995%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 12 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Część dłużna WACC
0,3846·5%·(1 − 0,28) = 1,385%
Koszt kapitału własnego
re = (8,77% − 1,385%)/0,6154 = 12%
Odpowiedź
re = 12%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 8,192 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1,1·(1 + 0,72·0,25) = 1,298
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3% + 1,298·4% = 8,192%
Odpowiedź
re = 8,192%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2500 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Potrzebny zysk przed opodatkowaniem
7 500/(1 − 0,25) = €10 000
Potrzebna liczba sztuk
Q = (15 000 + 10 000)/10 = 2 500
Odpowiedź
Q = 2 500 szt.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2000 szt.
Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.