Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €1 000 przy nominalnej stopie 3,6 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 5 latach.

PV = €1 0003,6% / 4n = 5

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €20 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 5 lat. Oprocentowanie wynosi 6 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €20 0006% / 12N = 60

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €13 500, €7 500, €6 500, €9 000, €13 000, €8 000 na koniec lat od 1 do 6. Koszt kapitału wynosi 6 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 500CF₂ = 7 500CF₃ = 6 500CF₄ = 9 000CF₅ = 13 000CF₆ = 8 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Inwestycja €20 000 przynosi €5 500 na koniec każdego roku przez 8 lat. Wyznacz jej wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

C₀ = €20 000CF = €5 500n = 8

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 8 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 7%YTM = 8%n = 8

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €970 przy rentowności do wykupu 4% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 7 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność spadnie o 75 punktów bazowych.

P₀ = €970y = 4%D = 7Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Firma ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €5 000 000. Jej WACC wynosi 6,06%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stawka podatku 25,8%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e.

E = €8 000 000D = €5 000 000WACC = 6,06%r_d = 4%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,6. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,4. Stawka podatku wynosi 25,8%, stopa wolna od ryzyka 2%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,6D/E = 0,4T = 25,8%r_f = 2%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €49 za sztukę przy koszcie zmiennym €45 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €8 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?

F = €8 000p = €49v = €45zysk = €2 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje miesięcznie 1 880 sztuk po €10 za sztukę, przy koszcie zmiennym €4 na sztukę i kosztach stałych €9 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €3 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?

Q = 1 880p = €10v = €4 → €7F = €9 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 1196 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·5 = 20

Wartość przyszła

FV = 1 000·(1 + 0,009)²⁰ = 1 000·1,196 = €1 196,25

Odpowiedź

FV = €1 196,25

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 386,7 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,7414

A = 20 000·0,005/(1 − 0,7414) = €386,66

Odpowiedź

A = €386,66

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,72 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 13 500/1,06 = 12 735,85 → Σ = 12 735,85

rok 2: 7 500/1,124 = 6 674,97 → Σ = 19 410,82

rok 3: 6 500/1,191 = 5 457,53 → Σ = 24 868,35

rok 4: 9 000/1,262 = 7 128,84 → Σ = 31 997,19

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 5 131,65/7 128,84 = 3,72

Odpowiedź

DPB = 3,72 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,278 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 21,84 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wymagany współczynnik renty

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 20 000/5 500 = 3,636

Wyznacz stopę

Współczynnik renty maleje, gdy stopa rośnie; zawęź przedział, w którym leży stopa.

i = 21%: 3,726

i = 22%: 3,619

IRR = 21,84%

Odpowiedź

IRR = 21,84%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 941,7 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €35,00, i = 0,04, N = 16

Wartość bieżąca kuponów

€35,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €407,83

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,5339 = €533,91

Cena

P = €941,74

Odpowiedź

P = €941,74

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1019 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 7/1,04 = 6,731

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −6,731·(−0,0075) = 5,048%

P ≈ 970·(1 + 0,05048) = €1 018,97

Odpowiedź

P = €1 018,97

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 7,992 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846

Część dłużna WACC

0,3846·4%·(1 − 0,258) = 1,142%

Koszt kapitału własnego

r_e = (6,06% − 1,142%)/0,6154 = 7,992%

Odpowiedź

r_e = 7,992%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 5,89 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,6·(1 + 0,742·0,4) = 0,7781

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2% + 0,7781·5% = 5,89%

Odpowiedź

r_e = 5,89%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2500 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 49 − 45 = €4

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (8 000 + 2 000)/4 = 2 500

Odpowiedź

Q = 2 500 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 3760 szt.

Obecny zysk

Π = 1 880·(10 − 4) − 9 000 = €2 280

Nowa jednostkowa marża pokrycia

10 − 7 = €3

Liczba sztuk dla tego samego zysku

Q = (9 000 + 2 280)/3 = 3 760

Odpowiedź

Q = 3 760 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance