W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Za 8 lat potrzebujesz €5 000. Konto daje 4 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.
FV = €5 0004% / 12n = 8
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €200 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 20 lat. Oprocentowanie wynosi 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.
P = €200 0004,8% / 12N = 240
A = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €8 000, €14 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 6 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €17 500, €10 000, €12 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 10 000CF3 = 12 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 7 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 3%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 8%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 7,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 3%n = 7y0 = 8%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €1 070. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 7%n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 1 000 000 akcji po €30,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 4%, a stopa podatkowa 25%. Współczynnik beta akcji to 0,6, stopa wolna od ryzyka 3%, a stopa zwrotu z rynku 10%. Wyznacz WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 10%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt sprzedaje się po €50 za sztukę przy koszcie zmiennym €30 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €30 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?
F = €30 000p = €50v = €30zysk = €2 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 3 000 sztuk po €26 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €9 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €1 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 3 000p = €26v = €20 → €21F = €9 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 3633 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa i liczba okresów
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·8 = 96
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,376 = €3 632,68
Odpowiedź
PV = €3 632,68
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: A = 1298 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa miesięczna i liczba rat
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·20 = 240
Rata
Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.
(1 + i)−N = 0,3836
A = 200 000·0,004/(1 − 0,3836) = €1 297,91
Odpowiedź
A = €1 297,91
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = −2436 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 14 000/1,124 = 12 459,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Zsumuj
NPV = €−2 436,31
Odpowiedź
NPV = €−2 436,31
NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 29,51 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 1 544,00
NPV(30%) = −159,31
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 070 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Rozwiąż numerycznie
P(5%) = €1 070,92, P(6%) = €1 034,65
YTM = 5,025%
Odpowiedź
YTM = 5,025%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,667 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·5%·(1 − 0,2) = 6,667%
Odpowiedź
WACC = 6,667%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,182 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).