Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €20 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 1 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 3 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.

C₁ = €20 000g = 1%r = 3%

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €25 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 6 lat przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?

P = €25 0004,8% / 12N = 72

I = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €10 000 na koniec każdego roku przez 6 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000CF₅ = 10 000CF₆ = 10 000

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €12 000, €10 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4%YTM = 2,5%n = 12

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 8% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €970. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 8%n = 4P = €970

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €2 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 10%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 0,25. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1,1D/E = 0,25T = 20%r_f = 2,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €10 000 rocznie i koszt zmienny €18 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €25 000 rocznie i koszt zmienny €15 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?

F_A = €10 000v_A = €18F_B = €25 000v_B = €15

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje miesięcznie 1 800 sztuk po €18 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €12 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €4 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?

Q = 1 800p = €18v = €8 → €12F = €12 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 1 × 10⁶ €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Rosnąca renta wieczysta

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0,03 − 0,01) = 20 000/0,02 = €1 000 000,00

Odpowiedź

PV = €1 000 000,00

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: I = 3822 €

Rata miesięczna

i = 0,004, N = 72

A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁷²) = €400,31

Łączne odsetki

I = N·A − P = 72·400,3 − 25 000 = €3 822,19

Odpowiedź

I = €3 822,19

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,579 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 10 000/1,05 = 9 523,81 → Σ = 9 523,81

rok 2: 10 000/1,103 = 9 070,29 → Σ = 18 594,10

rok 3: 10 000/1,158 = 8 638,38 → Σ = 27 232,48

rok 4: 10 000/1,216 = 8 227,02 → Σ = 35 459,51

rok 5: 10 000/1,276 = 7 835,26 → Σ = 43 294,77

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 4 540,49/7 835,26 = 4,579

Odpowiedź

DPB = 4,579 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (4 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 8,422 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(5%) = 952,38

NPV(10%) = −413,22

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 5 + 5·952,38/(952,38 − (−413,22)) = 8,487%

dokładnie: NPV(8,422%) = 0 → IRR = 8,422%

Odpowiedź

IRR = 8,422%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1155 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €20,00, i = 0,0125, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€20,00·(1 − 0,7422)/0,0125 = €412,48

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7422 = €742,20

Cena

P = €1 154,68

Odpowiedź

P = €1 154,68

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,924 %

Równanie dla rentowności

€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Rozwiąż numerycznie

P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60

YTM = 8,924%

Odpowiedź

YTM = 8,924%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,875 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 6,875%

Odpowiedź

WACC = 6,875%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 9,1 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1,1·(1 + 0,8·0,25) = 1,32

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,32·5% = 9,1%

Odpowiedź

r_e = 9,1%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Równe koszty całkowite

10 000 + 18Q = 25 000 + 15Q

Wyznacz Q

Q = (25 000 − 10 000)/(18 − 15) = 5 000

Odpowiedź

Q = 5 000 szt.

Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 3000 szt.

Obecny zysk

Π = 1 800·(18 − 8) − 12 000 = €6 000

Nowa jednostkowa marża pokrycia

18 − 12 = €6

Liczba sztuk dla tego samego zysku

Q = (12 000 + 6 000)/6 = 3 000

Odpowiedź

Q = 3 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance