W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 10 lat. Stopa procentowa wynosi 6 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €500i = 6%n = 10
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Na początku każdego roku przez 15 lat wpłacasz €1 000, pierwszą wpłatę dziś. Konto jest oprocentowane 6 % rocznie. Ile jest na koncie na koniec roku 15? Wyznacz FV.
A = €1 000i = 6%n = 15
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €80 000. Przynosi €31 500 na koniec każdego roku przez 3 lat, a potem można ją sprzedać za €8 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €80 000CF = €31 500S = €8 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €24 000, €20 500, €20 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 24 000CF2 = 20 500CF3 = 20 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 7% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 2,5%n = 6
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 3%n = 3YTM = 2,5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 8%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM i WACCTrudny
Spółka ma 5 000 000 akcji po €10,50 za sztukę i 5 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 7%, a stopa podatkowa 21%. Współczynnik beta akcji to 0,8, stopa wolna od ryzyka 2%, a stopa zwrotu z rynku 7%. Wyznacz WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 7%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Firma sprzedaje 6 250 sztuk po €32 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €20 na sztukę, a koszty stałe €30 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 6 250p = €32v = €20F = €30 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 6 250 sztuk po €40 za sztukę, przy koszcie zmiennym €25 na sztukę i kosztach stałych €37 500 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €5 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 6 250p = €40v = €25 → €30F = €37 500
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 3680 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5584)/0,06 = 7,36
Wartość bieżąca
PV = 500·7,36 = €3 680,04
Odpowiedź
PV = €3 680,04
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 24673 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik renty zwykłej
((1 + 0,06)15 − 1)/0,06 = 23,28
Renta płatna z góry
Każda wpłata jest inwestowana o rok dłużej.
FV = 1 000·23,28·1,06 = €24 672,53
Odpowiedź
FV = €24 672,53
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 4346 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
31 500·2,487 = 78 335,84
Wartość bieżąca wartości końcowej
8 000/1,331 = 6 010,52
NPV
NPV = −80 000 + 78 335,84 + 6 010,52 = €4 346,36
Odpowiedź
NPV = €4 346,36
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 14,4 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(10%) = 3 786,63
NPV(15%) = −479,16
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €35,00, i = 0,0125, N = 12
Wartość bieżąca kuponów
€35,00·(1 − 0,8615)/0,0125 = €387,78
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,8615 = €861,51
Cena
P = €1 249,28
Odpowiedź
P = €1 249,28
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 2,914 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 30/1,025 = 29,27, t·PV = 29,27
t = 2: 30/1,051 = 28,55, t·PV = 57,11
t = 3: 1030/1,077 = 956,46, t·PV = 2 869,37
Duration
P = 1 014,28
D = 2 955,75/1 014,28 = 2,914
Odpowiedź
D = 2,914 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,123 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·3%·(1 − 0,21) = 6,123%
Odpowiedź
WACC = 6,123%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 5,961 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wartości rynkowe
E = 5 000 000·€10,50 = €52 500 000
D = 5 000·€960 = €4 800 000
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 2% + 0,8·5% = 6%
Wagi
V = €57 300 000, E/V = 0,9162, D/V = 0,08377
WACC
WACC = 0,9162·6% + 0,08377·7%·(1 − 0,21) = 5,961%
Odpowiedź
WACC = 5,961%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: DOL = 1,667
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 6 250·(32 − 20) = €75 000
Zysk operacyjny
Π = 75 000 − 30 000 = €45 000
DOL
DOL = 75 000/45 000 = 1,667
Odpowiedź
DOL = 1,667
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 9375 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).