W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Nieruchomość ma w przyszłym roku przynieść czynsz netto €12 000. Oczekuje się, że czynsz będzie rósł o 2 % rocznie bez końca. Wymagana stopa zwrotu wynosi 8 % rocznie. Wyznacz dzisiejszą wartość PV nieruchomości.
C1 = €12 000g = 2%r = 8%
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Odkładasz €250 na koniec każdego miesiąca przez 7 lat. Konto daje 4,2 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.
A = €2504,2% / 12N = 84
FV = €
3.NPV i IRRŚredni
Inwestycja €60 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €27 000, €19 000, €25 000, €27 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €26 000, €28 000 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 28 000
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 4 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €1 055, gdy rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.
F = €1 000n = 4P = €1 055YTM = 3,5%
c = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 4% zostanie wykupiona po 4 latach, a jej cena wynosi €1 035. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 4P = €1 035
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €4 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 6%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.
Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €8 000 000 i koszcie 11%. Jej dług stanowi 8 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 7%, 7 lat do wykupu), notowanych po €923 za sztukę. Stawka podatku wynosi 25%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.
Firma sprzedaje 1 500 sztuk po €40 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €20 na sztukę, a koszty stałe €24 000. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.
Q = 1 500p = €40v = €20F = €24 000
DOL =
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €65 za sztukę, przy koszcie zmiennym €45 na sztukę i kosztach stałych €20 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 1 800 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €20 000p = €65v = €45plan = 1 800
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 200000 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca każdego przepływu
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 27 000/1,12 = 24 107,14
CF2/(1 + 0,12)2 = 19 000/1,254 = 15 146,68
CF3/(1 + 0,12)3 = 25 000/1,405 = 17 794,51
CF4/(1 + 0,12)4 = 27 000/1,574 = 17 158,99
Zsumuj
NPV = €14 207,32
Odpowiedź
NPV = €14 207,32
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 5,221 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(5%) = 158,73
NPV(10%) = −3 223,14
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wartość bieżąca wartości nominalnej
1000·(1 + 0,035)−4 = €871,44
Kupon
C = (1055 − 871,44)/3,673 = €49,97
Oprocentowanie kuponu
c = 49,97/1000 = 4,997%
Odpowiedź
c = 4,997%
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: YTM = 3,057 %
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€1 035 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Rozwiąż numerycznie
P(3%) = €1 037,17, P(4%) = €1 000,00
YTM = 3,057%
Odpowiedź
YTM = 3,057%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,286 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·11% + 0,5714·6%·(1 − 0,25) = 7,286%
Odpowiedź
WACC = 7,286%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,782 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt długu (YTM)
923 = 70·(1 − (1 + y)−7)/y + 1000/(1 + y)7
y = 8,505%
Wartości rynkowe
D = 8 000·€923 = €7 384 000
V = €15 384 000, E/V = 0,52, D/V = 0,48
WACC
WACC = 0,52·11% + 0,48·8,505%·(1 − 0,25) = 8,782%
Odpowiedź
WACC = 8,782%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: DOL = 5
Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.
Całkowita marża pokrycia
CM = 1 500·(40 − 20) = €30 000
Zysk operacyjny
Π = 30 000 − 24 000 = €6 000
DOL
DOL = 30 000/6 000 = 5
Odpowiedź
DOL = 5
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: MS = 44,44 %
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).