Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €2 000 przy stopie 3 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 11 latach.

PV = €2 000r = 3%t = 11

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 4 lat chcesz mieć €10 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 7,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €10 0007,2% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €40 000 i przynosi €14 500, €12 500, €11 000, €9 000, €8 000, €11 500 na koniec lat od 1 do 6. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 12 500CF₃ = 11 000CF₄ = 9 000CF₅ = 8 000CF₆ = 11 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €7 500, €7 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 500CF₂ = 7 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 6% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 3 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 6%YTM = 3,5%n = 3

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 10 lat. Kosztuje €1 176. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 4,5% (2×)n = 10P = €1 176

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €13,00 za sztukę i 10 000 obligacji notowanych po €1 000 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 28%. Współczynnik beta akcji to 1,3, stopa wolna od ryzyka 1%, a stopa zwrotu z rynku 8%. Wyznacz WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 8%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €10 za sztukę przy koszcie zmiennym €4 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €6 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €6 000p = €10v = €4zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €13 przy koszcie zmiennym €10; produkt B po €38 przy koszcie zmiennym €30. Sprzedają się w stałej strukturze: 5 sztuk A na każde 2 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €9 300 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €13, v_A = €10p_B = €38, v_B = €30A : B = 5 : 2F = €9 300

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 2782 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,03·11 = 0,33

e^0,33 = 1,391

Wartość przyszła

FV = 2 000·1,391 = €2 781,94

Odpowiedź

FV = €2 781,94

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 180,4 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·4 = 48

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,006/(1,333 − 1) = €180,39

Odpowiedź

A = €180,39

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 4,094 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 14 500/1,08 = 13 425,93 → Σ = 13 425,93

rok 2: 12 500/1,166 = 10 716,74 → Σ = 24 142,66

rok 3: 11 000/1,26 = 8 732,15 → Σ = 32 874,82

rok 4: 9 000/1,36 = 6 615,27 → Σ = 39 490,08

rok 5: 8 000/1,469 = 5 444,67 → Σ = 44 934,75

Ułamek ostatniego roku

DPB = 4 + 509,92/5 444,67 = 4,094

Odpowiedź

DPB = 4,094 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,222 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 31,87 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 207,10

NPV(35%) = −329,22

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·207,10/(207,10 − (−329,22)) = 31,93%

dokładnie: NPV(31,87%) = 0 → IRR = 31,87%

Odpowiedź

IRR = 31,87%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1071 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €30,00, i = 0,0175, N = 6

Wartość bieżąca kuponów

€30,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €169,47

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,9011 = €901,14

Cena

P = €1 070,61

Odpowiedź

P = €1 070,61

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 2,5 %

Na okres

C = €22,50, N = 20

Rozwiąż numerycznie

i = 1,25% na półrocze

YTM

YTM = 2·1,25% = 2,5%

Odpowiedź

YTM = 2,5%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,8 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·12% + 0,4·5%·(1 − 0,2) = 8,8%

Odpowiedź

WACC = 8,8%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,329 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€13,00 = €65 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·7% = 10,1%

Wagi

V = €75 000 000, E/V = 0,8667, D/V = 0,1333

WACC

WACC = 0,8667·10,1% + 0,1333·6%·(1 − 0,28) = 9,329%

Odpowiedź

WACC = 9,329%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 10 − 4 = €6

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (6 000 + 6 000)/6 = 2 000

Odpowiedź

Q = 2 000 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2100 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €3, cm_B = €8

Ważona marża pokrycia

(5·3 + 2·8)/7 = €4,43

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 9 300/4,429 = 2 100

A: 1 500, B: 600

Odpowiedź

Q = 2 100 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance