Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 7 lat potrzebujesz €50 000. Konto daje 2 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €50 0002% / 4n = 7

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €50 na koniec każdego miesiąca przez 27 lat. Konto daje 2,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €502,4% / 12N = 324

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €12 000, €13 000, €15 000, €9 000. Koszt kapitału wynosi 10 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 13 000CF₃ = 15 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €5 500, €6 500 na koniec lat od 1 do 2. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 6 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €875, gdy rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 6P = €875YTM = 5,5%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch półrocznych ratach i zapada za 11 lat. Kosztuje €747. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM jako stopę roczną (dwukrotność rentowności półrocznej) w procentach.

F = €1 000kupon = 4,5% (2×)n = 11P = €747

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €8 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Akcje firmy mają betę 1,4 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 0,75. Stawka podatku wynosi 28%, stopa wolna od ryzyka 1%, a rynkowa premia za ryzyko 4,5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e po zmianie.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,75T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €20 przy koszcie zmiennym €15 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €12 500 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 20 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €6 500 po opodatkowaniu?

p = €20v = €15F = €12 500T = 20%zysk po opodatkowaniu = €6 500

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 1 600 sztuk po €15 za sztukę, przy koszcie zmiennym €12 na sztukę i kosztach stałych €2 400. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 8 %?

Q = 1 600p = €15v = €12F = €2 400%ΔQ = +8%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 43483 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·7 = 28

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,15 = €43 483,08

Odpowiedź

PV = €43 483,08

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 22762 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·27 = 324

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,91 − 1)/0,002 = €22 761,92

Odpowiedź

FV = €22 761,92

Sam wpłaciłeś €16 200; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 9070 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 12 000/1,1 = 10 909,09

CF₂/(1 + 0,1)² = 13 000/1,21 = 10 743,80

CF₃/(1 + 0,1)³ = 15 000/1,331 = 11 269,72

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 9 000/1,464 = 6 147,12

Zsumuj

NPV = €9 069,74

Odpowiedź

NPV = €9 069,74

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 12,68 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(10%) = 371,90

NPV(15%) = −302,46

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 10 + 5·371,90/(371,90 − (−302,46)) = 12,76%

dokładnie: NPV(12,68%) = 0 → IRR = 12,68%

Odpowiedź

IRR = 12,68%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 2,998 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,055)⁻⁶ = €725,25

Kupon

C = (875 − 725,25)/4,996 = €29,98

Oprocentowanie kuponu

c = 29,98/1000 = 2,998%

Odpowiedź

c = 2,998%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 8,002 %

Na okres

C = €22,50, N = 22

Rozwiąż numerycznie

i = 4,001% na półrocze

YTM

YTM = 2·4,001% = 8,002%

Odpowiedź

YTM = 8,002%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 6,874 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·8% + 0,2·3%·(1 − 0,21) = 6,874%

Odpowiedź

WACC = 6,874%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 8,134 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Usuń dźwignię z bety

β_U = 1,4/(1 + 0,72·0,5) = 1,029

Zlewaruj ponownie przy nowym D/E

β_L = 1,029·(1 + 0,72·0,75) = 1,585

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1% + 1,585·4,5% = 8,134%

Odpowiedź

r_e = 8,134%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 4125 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Potrzebny zysk przed opodatkowaniem

6 500/(1 − 0,2) = €8 125

Potrzebna liczba sztuk

Q = (12 500 + 8 125)/5 = 4 125

Odpowiedź

Q = 4 125 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 16 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 1 600·3 = €4 800

Π = 4 800 − 2 400 = €2 400

DOL

DOL = 4 800/2 400 = 2

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2·(+8%) = +16%

Odpowiedź

%ΔΠ = +16%

Sprawdzenie: nowy zysk = 1 728·3 − 2 400 = €2 784,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance