Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €5 000 przy stopie 8 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 12 latach.

PV = €5 000r = 8%t = 12

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €5 000 przy 4,8 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €75 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €5 000A = €754,8% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €75 000 daje na koniec lat od 1 do 4 takie przepływy: €37 000, €32 000, €18 000, €36 000. Koszt kapitału wynosi 12 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 32 000CF₃ = 18 000CF₄ = 36 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €3 500, €4 500, €6 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 3 500CF₂ = 4 500CF₃ = 6 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 12 latach. Rentowność do wykupu wynosi 3,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 3,5%n = 12

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 9 latach, a jej cena wynosi €1 105. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 9P = €1 105

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 21%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 5 000 000 akcji po €55,50 za sztukę i 20 000 obligacji notowanych po €980 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 6%, a stopa podatkowa 25,8%. Współczynnik beta akcji to 1,8, stopa wolna od ryzyka 1,5%, a stopa zwrotu z rynku 5,5%. Wyznacz WACC.

β = 1,8r_f = 1,5%r_m = 5,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €11 za sztukę przy koszcie zmiennym €6 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €25 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €2 000?

F = €25 000p = €11v = €6zysk = €2 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €16 przy koszcie zmiennym €8; produkt B po €27 przy koszcie zmiennym €15. Sprzedają się w stałej strukturze: 3 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €18 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €16, v_A = €8p_B = €27, v_B = €15A : B = 3 : 1F = €18 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 13058 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,08·12 = 0,96

e^0,96 = 2,612

Wartość przyszła

FV = 5 000·2,612 = €13 058,48

Odpowiedź

FV = €13 058,48

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 78 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,004/75 = 0,7333

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,7333)/ln(1,004) = 77,69

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

77 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 78

Odpowiedź

N = 78 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 19237 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 37 000/1,12 = 33 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 32 000/1,254 = 25 510,20

CF₃/(1 + 0,12)³ = 18 000/1,405 = 12 812,04

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 36 000/1,574 = 22 878,65

Zsumuj

NPV = €19 236,61

Odpowiedź

NPV = €19 236,61

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 18,86 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(15%) = 719,98

NPV(20%) = −196,76

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 15 + 5·719,98/(719,98 − (−196,76)) = 18,93%

dokładnie: NPV(18,86%) = 0 → IRR = 18,86%

Odpowiedź

IRR = 18,86%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 951,3 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,0175, N = 24

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,6594)/0,0175 = €291,91

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6594 = €659,44

Cena

P = €951,35

Odpowiedź

P = €951,35

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 5,49 %

Równanie dla rentowności

€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Rozwiąż numerycznie

P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02

YTM = 5,49%

Odpowiedź

YTM = 5,49%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 9,693 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·11% + 0,1667·4%·(1 − 0,21) = 9,693%

Odpowiedź

WACC = 9,693%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 8,42 %

Wartości rynkowe

E = 5 000 000·€55,50 = €277 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,8·4% = 8,7%

Wagi

V = €297 100 000, E/V = 0,934, D/V = 0,06597

WACC

WACC = 0,934·8,7% + 0,06597·6%·(1 − 0,258) = 8,42%

Odpowiedź

WACC = 8,42%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5400 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 11 − 6 = €5

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (25 000 + 2 000)/5 = 5 400

Odpowiedź

Q = 5 400 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2000 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €8, cm_B = €12

Ważona marża pokrycia

(3·8 + 1·12)/4 = €9,00

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 18 000/9 = 2 000

A: 1 500, B: 500

Odpowiedź

Q = 2 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance