Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Inwestujesz €5 000 przy stopie 7 % rocznie z kapitalizacją ciągłą. Wyznacz wartość FV po 5 latach.

PV = €5 000r = 7%t = 5

FV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Pożyczasz €8 000 przy 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną i spłacasz €200 na koniec każdego miesiąca. Ile miesięcy potrwa spłata kredytu (ostatnia rata może być mniejsza)? Podaj liczbę rat N.

P = €8 000A = €2006% / 12

N = raty

3.NPV i IRRŚredni

Maszyna kosztuje dziś €20 000, działa przez 9 lat, a jej eksploatacja kosztuje €2 000 rocznie (płatne na koniec każdego roku). Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz jej równoważny koszt roczny EAC.

C₀ = €20 000M = €2 000n = 9r = 8%

EAC = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €19 000, €29 000, €37 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 000CF₂ = 29 000CF₃ = 37 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 3 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €986, gdy rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 3P = €986YTM = 5%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja jest notowana po €930 przy rentowności do wykupu 3% (kapitalizacja roczna) i duration Macaulaya 11,1 lat. Korzystając ze zmodyfikowanej duration, oszacuj nową cenę P, jeśli rentowność wzrośnie o 75 punktów bazowych.

P₀ = €930y = 3%D = 11,1Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €10 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 9%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 25%. Wyznacz WACC.

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Spółka ma 1 000 000 akcji po €59,50 za sztukę i 40 000 obligacji notowanych po €960 za sztukę. Koszt długu przed opodatkowaniem wynosi 3%, a stopa podatkowa 30%. Współczynnik beta akcji to 0,9, stopa wolna od ryzyka 2,5%, a stopa zwrotu z rynku 9%. Wyznacz WACC.

β = 0,9r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €24 za sztukę przy koszcie zmiennym €20 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €6 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €5 000?

F = €6 000p = €24v = €20zysk = €5 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje dwa produkty. Produkt A sprzedaje się po €21 przy koszcie zmiennym €15; produkt B po €42 przy koszcie zmiennym €30. Sprzedają się w stałej strukturze: 2 sztuk A na każde 1 sztuk B. Koszty stałe wynoszą €12 000 miesięcznie. Wyznacz łączną liczbę sztuk Q (A i B razem) potrzebną do osiągnięcia progu rentowności.

p_A = €21, v_A = €15p_B = €42, v_B = €30A : B = 2 : 1F = €12 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 7095 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Wykładnik

r·t = 0,07·5 = 0,35

e^0,35 = 1,419

Wartość przyszła

FV = 5 000·1,419 = €7 095,34

Odpowiedź

FV = €7 095,34

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: N = 45 raty

Przekształć wzór na rentę

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,005/200 = 0,8

Rozwiąż za pomocą logarytmów

N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74

Zaokrąglij w górę do pełnych rat

44 pełnych rat pozostawia niewielkie saldo, które spłaca ostatnia, mniejsza rata.

N = 45

Odpowiedź

N = 45 raty

3.NPV i IRR

Odpowiedź: EAC = 5202 €

Równoważny koszt roczny: rozłóż wartość bieżącą wszystkich kosztów na okres użytkowania jako równą kwotę roczną (rentę): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Pozwala to porównywać maszyny o różnych okresach użytkowania.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − 1,08⁻⁹)/0,08 = 6,247

Zannualizowana cena zakupu

20 000/6,247 = 3 201,59

EAC

EAC = 3 201,59 + 2 000 = €5 201,59

Odpowiedź

EAC = €5 201,59

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 28,53 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 2 960,00

NPV(30%) = −1 156,12

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·2 960,00/(2 960,00 − (−1 156,12)) = 28,6%

dokładnie: NPV(28,53%) = 0 → IRR = 28,53%

Odpowiedź

IRR = 28,53%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,486 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,05)⁻³ = €863,84

Kupon

C = (986 − 863,84)/2,723 = €44,86

Oprocentowanie kuponu

c = 44,86/1000 = 4,486%

Odpowiedź

c = 4,486%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 854,8 €

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Zmodyfikowana duration

D_mod = 11,1/1,03 = 10,78

Szacowana zmiana ceny

%ΔP ≈ −10,78·(0,0075) = −8,083%

P ≈ 930·(1 − 0,08083) = €854,83

Odpowiedź

P = €854,83

Duration to oszacowanie liniowe; przy dużych zmianach rentowności wypukłość sprawia, że rzeczywista cena jest nieco wyższa.

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 7,442 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·9% + 0,2308·3%·(1 − 0,25) = 7,442%

Odpowiedź

WACC = 7,442%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,899 %

Wartości rynkowe

E = 1 000 000·€59,50 = €59 500 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9·6,5% = 8,35%

Wagi

V = €97 900 000, E/V = 0,6078, D/V = 0,3922

WACC

WACC = 0,6078·8,35% + 0,3922·3%·(1 − 0,3) = 5,899%

Odpowiedź

WACC = 5,899%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2750 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 24 − 20 = €4

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (6 000 + 5 000)/4 = 2 750

Odpowiedź

Q = 2 750 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1500 szt.

Próg rentowności przy strukturze sprzedaży: gdy produkty sprzedają się w stałej proporcji, użyj średniej ważonej marży pokrycia: zważ p − v każdego produktu jego udziałem w liczbie sztuk. Liczba sztuk w progu rentowności = F/(ważona marża pokrycia), a potem podziel ją ponownie według struktury sprzedaży.

Marże pokrycia

cm_A = €6, cm_B = €12

Ważona marża pokrycia

(2·6 + 1·12)/3 = €8,00

Liczba sztuk w progu rentowności

Q = 12 000/8 = 1 500

A: 1 000, B: 500

Odpowiedź

Q = 1 500 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance