Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 20 lat. Stopa procentowa wynosi 10 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.

A = €500i = 10%n = 20

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Kredyt €12 000 spłaca się równymi ratami miesięcznymi przez 6 lat. Oprocentowanie wynosi 5,4 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Wyznacz ratę miesięczną A.

P = €12 0005,4% / 12N = 72

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Inwestycja €30 000 daje na koniec lat od 1 do 3 takie przepływy: €7 000, €9 000, €14 000. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €36 500, €21 000, €26 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 21 000CF₃ = 26 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 4% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 4%n = 6

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 025. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 3P = €1 025

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Spółka ma kapitał własny o wartości €4 000 000 i dług o wartości €3 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 8%, koszt długu przed opodatkowaniem 3%, a stopa podatkowa 20%. Wyznacz WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 0,9. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 0,9D/E = 1T = 20%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €30 przy koszcie zmiennym €20 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €10 000 miesięcznie, a zysk jest opodatkowany stawką 20 %. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby zarobić €3 000 po opodatkowaniu?

p = €30v = €20F = €10 000T = 20%zysk po opodatkowaniu = €3 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 10 000 sztuk po €12 za sztukę, przy koszcie zmiennym €8 na sztukę i kosztach stałych €16 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 12 %?

Q = 10 000p = €12v = €8F = €16 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 4257 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Współczynnik dyskontowy renty

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,1486)/0,1 = 8,514

Wartość bieżąca

PV = 500·8,514 = €4 256,78

Odpowiedź

PV = €4 256,78

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 195,5 €

Stopa miesięczna i liczba rat

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·6 = 72

Rata

Wartość bieżąca N równych płatności A wynosi A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Przyrównaj ją do kredytu i wyznacz A.

(1 + i)^−N = 0,7238

A = 12 000·0,0045/(1 − 0,7238) = €195,49

Odpowiedź

A = €195,49

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = −5192 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość bieżąca każdego przepływu

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 7 000/1,09 = 6 422,02

CF₂/(1 + 0,09)² = 9 000/1,188 = 7 575,12

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

Zsumuj

NPV = €−5 192,29

Odpowiedź

NPV = €−5 192,29

NPV jest ujemna, więc projekt zarabia mniej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 33,58 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(30%) = 2 337,28

NPV(35%) = −872,83

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 30 + 5·2 337,28/(2 337,28 − (−872,83)) = 33,64%

dokładnie: NPV(33,58%) = 0 → IRR = 33,58%

Odpowiedź

IRR = 33,58%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 1026 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €22,50, i = 0,02, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€22,50·(1 − 0,7885)/0,02 = €237,95

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,7885 = €788,49

Cena

P = €1 026,44

Odpowiedź

P = €1 026,44

Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 6,064 %

Równanie dla rentowności

€1 025 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

P(6%) = €1 026,73, P(7%) = €1 000,00

YTM = 6,064%

Odpowiedź

YTM = 6,064%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 5,6 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Wagi

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·3%·(1 − 0,2) = 5,6%

Odpowiedź

WACC = 5,6%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 10,48 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 0,9·(1 + 0,8·1) = 1,62

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 1,62·4% = 10,48%

Odpowiedź

r_e = 10,48%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 1375 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Potrzebny zysk przed opodatkowaniem

3 000/(1 − 0,2) = €3 750

Potrzebna liczba sztuk

Q = (10 000 + 3 750)/10 = 1 375

Odpowiedź

Q = 1 375 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 20 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 10 000·4 = €40 000

Π = 40 000 − 16 000 = €24 000

DOL

DOL = 40 000/24 000 = 1,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 1,667·(+12%) = +20%

Odpowiedź

%ΔΠ = +20%

Sprawdzenie: nowy zysk = 11 200·4 − 16 000 = €28 800,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance