Równania różniczkowe: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Równania różniczkowe

Wzrost/zanik wykładniczy: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Okres połowicznego rozpadu: k = ln 2 / t_½
Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Czynnik całkujący: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Zbiornik z mieszaniem: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Całki

Pochodna potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Całka oznaczona: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Podstawowe całki: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Pole między krzywymi: ∫_a^b (f − g) dx

Metoda

Tam, gdzie to możliwe, zapisz funkcję podcałkową jako sumę prostych wyrazów.
Zastosuj wzór na całkę potęgi: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) oraz całki podstawowe dla e^x, 1/x, sin i cos.
Użyj podstawienia, gdy widzisz razem funkcję i jej pochodną.
Dla całki oznaczonej oblicz F(b) − F(a).

Pochodne

Pochodna potęgi: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′
Pochodna ilorazu: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Reguła łańcuchowa: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Podstawowe pochodne: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metoda

Rozpoznaj strukturę: suma, iloczyn, iloraz czy złożenie.
Zastosuj wzór na pochodną potęgi do każdej potęgi x.
W razie potrzeby użyj reguły iloczynu, ilorazu lub łańcuchowej.
Uprość i, jeśli trzeba, oblicz wartość w punkcie.

Metody numeryczne

Bisekcja: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolacja liniowa: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Oszacowanie błędu wzoru trapezów: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metoda

Dla pierwiastka: sprawdź zmianę znaku dla bisekcji albo oblicz f i f′ dla Newtona i zachowaj sześć lub więcej cyfr w tabeli iteracji.
Dla wartości z tabeli: interpoluj liniowo między dwoma sąsiednimi punktami.
Dla całki: znajdź h = (b − a)/n, wypisz f w każdym węźle, zastosuj wagi (1, 2, …, 2, 1 dla trapezów; 1, 4, 2, …, 4, 1 dla Simpsona przy parzystym n) i pomnóż przez h/2 lub h/3.
Dla równania różniczkowego: idź krok po kroku od t₀ według yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) lub uśrednionego nachylenia (Heun), po jednym wierszu na krok, aż dojdziesz do żądanego t.

2Zadania do ćwiczenia

1.Równania różniczkoweŚredni

Filiżankę kawy o temperaturze 90 °C zostawiono w pokoju o temperaturze 23 °C. Po 17 min jej temperatura wynosi 33 °C. Podlega ona prawu stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wyznacz stałą k w min⁻¹.

T₀ = 90 °CT_a = 23 °CT(17) = 33 °C

k = min⁻¹

2.Równania różniczkoweTrudny

Układ spełnia równanie y″ + 4y′ + 13y = 130 dla t ≥ 0, startując ze spoczynku: y(0) = 0, y′(0) = 0. Wyznacz y(0,75); kąty w radianach.

y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3.CałkiŚredni

Obszar pod krzywą y = x od x = 0 do x = 1 obraca się wokół osi x. Wyznacz objętość V otrzymanej bryły (stożka).

y = x0 ≤ x ≤ 1

V =

4.CałkiTrudny

Wyznacz pole A obszaru między parabolą y = 4 − x² a osią x.

y = 4 − x²

A =

5.PochodneŚredni

Dana jest funkcja f(x) = x·sin(3x), x w radianach. Wyznacz f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

6.PochodneTrudny

Styczna do f(x) = x² + 2x − 5 w x = 1 przecina oś y w y = b. Wyznacz b.

f(x) = x² + 2x − 5x = 1

b =

7.Metody numeryczneŚredni

Wzór trapezów stosuje się do ∫₀² x³ dx. Błąd wynosi co najwyżej (b − a)³·M/(12n²), gdzie M = max|f″| na [0, 2]. Znajdź najmniejszą liczbę pasków n, która gwarantuje błąd poniżej 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Metody numeryczneTrudny

Użyj metody Eulera z h = 0,2 dla y′ = t² + y², y(0) = 1, aby oszacować y₃ ≈ y(0,6).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2

y₃ =

3Roztwory

1.Równania różniczkowe

Odpowiedź: k = 0,1119 min⁻¹

Równania różniczkowe pierwszego rzędu: dy/dt = k·y ma rozwiązanie y = y₀·e^kt (wzrost dla k > 0, zanik dla k < 0); okres połowicznego rozpadu T daje k = ln 2/T. Prawo stygnięcia Newtona, dT/dt = −k·(T − Tₐ), daje T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Równanie liniowe y′ + p(x)·y = q(x) rozwiązuje się czynnikiem całkującym μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, więc μy = ∫μq dx + C.

Stosunek różnic temperatur

e^−17k = 10/67

Wyznacz k

k = ln(67/10)/17 = 0,1119 min⁻¹

Odpowiedź

k = 0,1119 min⁻¹

2.Równania różniczkowe

Odpowiedź: y(0.75) = 10,24

Liniowe równania drugiego rzędu: dla y″ + b·y′ + c·y = 0 spróbuj y = e^rt: otrzymasz równanie charakterystyczne r² + b·r + c = 0. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ ≠ r₂ dają y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (tłumienie nadkrytyczne); pierwiastek podwójny r daje y = (A + Bt)·e^rt (tłumienie krytyczne); pierwiastki zespolone −α ± jω dają y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (tłumienie podkrytyczne, drgania). Wartości początkowe y(0) i y′(0) wyznaczają A i B. Zapisane jako y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n jest częstością drgań własnych, a ζ współczynnikiem tłumienia: dla ζ < 1 występują drgania. Przy stałym wymuszeniu y″ + by′ + cy = c·K rozwiązaniem jest wartość ustalona K plus odpowiedź swobodna.

Wartość ustalona i pierwiastki

y_ss = 10, r = −2 ± 3j

Stałe z wartości początkowych

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −6,667

Oblicz

y(0,75) = 10·(1 − e^−1,5(cos 2,25 + 0,6667·sin 2,25)) = 10,24

Odpowiedź

y(0,75) = 10,24

3.Całki

Odpowiedź: V = 1,047

Objętości brył obrotowych: obrót obszaru pod krzywą y = f(x) od x = a do x = b wokół osi x tworzy bryłę, której przekrojem w punkcie x jest koło o promieniu f(x). Dodanie tych kół daje V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Gdy obszar leży między krzywą zewnętrzną R(x) a wewnętrzną r(x), każdy plasterek jest pierścieniem: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Promienie podnieś do kwadratu przed odejmowaniem.

Metoda dysków

V = π∫₀¹ 1x² dx

Całkuj

V = π·1·1³/3 = 1,047

Odpowiedź

V = 1,047

Sprawdzenie: stożek o promieniu 1 i wysokości 1 ma (1/3)πr²h = 1,047.

4.Całki

Odpowiedź: A = 10,67

Całki oznaczone: ∫ₐᵇ f(x) dx to pole ze znakiem między wykresem a osią x od a do b. Znajdź funkcję pierwotną F (F′ = f) i oblicz F(b) − F(a). Reguła potęgowa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Pole między dwiema krzywymi to ∫(górna − dolna) dx.

Miejsca zerowe

4 − x² = 0 → x = ±2

Całkuj

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Odpowiedź

A = 10,67

5.Pochodne

Odpowiedź: f′(1.5) = −1,926

Różniczkowanie: pochodna f′(x) to nachylenie wykresu w punkcie x. Reguła potęgowa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Reguła iloczynu: (uv)′ = u′v + uv′. Reguła łańcuchowa: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Gdzie f′(x) = 0, wykres ma poziomą styczną: maksimum, minimum albo punkt siodłowy.

Reguła iloczynu i łańcuchowa

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Podstaw

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Odpowiedź

f′(1,5) = −1,926

6.Pochodne

Odpowiedź: b = −6

Punkt i nachylenie

f(1) = −2

f′(x) = 2x + 2 → f′(1) = 4

Styczna w x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 4·1 = −6

Odpowiedź

b = −6

7.Metody numeryczne

Odpowiedź: n = 895

Całkowanie numeryczne: podziel [a, b] na n pasków o szerokości h = (b − a)/n z węzłami x₀ … xₙ. Wzór trapezów: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Wzór Simpsona (n parzyste): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Błąd wzoru trapezów maleje jak h² (oszacowanie (b − a)h²·M/12, gdzie M = max|f″|), a wzoru Simpsona jak h⁴, więc Simpson jest zwykle znacznie dokładniejszy przy tych samych węzłach.

Oszacowanie drugiej pochodnej

M = 6·2 = 12

Wyznacz n

n² > 8·12/(12·1 × 10⁻⁵) = 800000

n > 894,4 → n = 895

Odpowiedź

n = 895

8.Metody numeryczne

Odpowiedź: y₃ = 1,976

Numeryczne rozwiązywanie y′ = f(t, y): metoda Eulera idzie wzdłuż nachylenia na początku każdego kroku: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metoda Heuna (ulepszona metoda Eulera) uśrednia nachylenie na początku i w przewidywaniu Eulera: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasyczna metoda Rungego–Kutty (RK4) łączy cztery nachylenia: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Błąd globalny metody Eulera jest proporcjonalny do h, metody Heuna do h², a RK4 do h⁴.

Kroki Eulera

y₁ = 1 + 0,2·(1) = 1,2

y₂ = 1,2 + 0,2·(1,48) = 1,496

y₃ = 1,496 + 0,2·(2,398016) = 1,975603

Wykres

y₃ = 1,976

Odpowiedź

y₃ = 1,976

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations