Narysuj diagram Venna i rozstrzygnij obszar po obszarze, co należy do wyrażenia na zbiorach.
W zadaniach na zliczanie wypełniaj obszary od środka na zewnątrz: najpierw wszystkie zbiory, potem pary, potem pojedyncze zbiory, na końcu zewnętrze.
Użyj zasady włączeń i wyłączeń do sprawdzenia: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Dla relacji sprawdź każdą własność na każdej parze i podaj jeden kontrprzykład, gdy zawodzi.
Dla funkcji policz strzałki wchodzące do każdego elementu B: co najwyżej jedna oznacza różnowartościowość, co najmniej jedna – surjekcję.
Teoria grafów
Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij
Metoda
Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).
Teoria liczb i arytmetyka modularna
Dzielenie z resztą
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklides
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Odwrotność
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Kongruencja liniowa
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Funkcja φ Eulera
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Fermat
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metoda
Najpierw zredukuj każdą liczbę modulo n; reszty leżą między 0 a n − 1.
Aby znaleźć NWD, dziel wielokrotnie algorytmem Euklidesa; ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Aby znaleźć element odwrotny, uruchom rozszerzony algorytm i zachowaj współczynnik przy a; dodaj n, jeśli jest ujemny.
Rozwiąż a·x ≡ b, mnożąc przez a⁻¹; dwie kongruencje połącz, zapisując x = r₁ + m₁k.
Przy potęgach zapisz wykładnik binarnie i wielokrotnie podnoś do kwadratu; w RSA d = e⁻¹ mod φ(n), gdzie φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Zadania do ćwiczenia
1.Rachunek zdań i dowodyŚredni
Która formuła jest logicznie równoważna c → b? Kliknij ją.
c → b
1¬c → ¬b
2c ∨ ¬b
3¬c ∨ b
4¬c ∧ b
2.Rachunek zdań i dowodyTrudny
Ile z 16 wierszy tablicy prawdy czyni ((¬a ∧ ¬c) ∧ d) ∨ ((¬c ∨ ¬b) ∨ (a ∧ b)) prawdziwym? Nazwij tę liczbę N.
((¬a ∧ ¬c) ∧ d) ∨ ((¬c ∨ ¬b) ∨ (a ∧ b))
N =
3.Zbiory, relacje i funkcjeŚredni
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (4, 4)} jest relacją na {1, 2, 3, 4}. Jaka jest najmniejsza liczba k par uporządkowanych, które trzeba dodać do R, aby stała się zwrotna?
Ile relacji na zbiorze 4-elementowym jest jednocześnie zwrotnych i symetrycznych? Nazwij tę liczbę N.
|X| = 4
N =
5.Teoria grafówŚredni
Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?
3 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka C. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4.
start: Ck = 4
1krawędź AB
2krawędź AC
3krawędź BC
4krawędź BD
5krawędź CE
6krawędź DE
7krawędź BE
7.Teoria liczb i arytmetyka modularnaŚredni
Rozwiąż 43x ≡ 48 (mod 97). Podaj rozwiązanie x z 0 < x < 97.
43x ≡ 48 (mod 97)
x =
8.Teoria liczb i arytmetyka modularnaTrudny
Ile rozwiązań N ma 4x ≡ 14 (mod 34) w zbiorze {0, 1, …, 33}?
4x ≡ 14 (mod 34)
N =
3Roztwory
1.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: ¬c ∨ b
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Prawo
a → b jest równe 0 tylko wtedy, gdy a = 1 i b = 0, więc jest równoważne ¬a ∨ b.
c → b ≡ ¬c ∨ b
Sprawdź tablicą prawdy
b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 0
b = 1, c = 0: 1 | 0 0 1 1
b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0
Odpowiedź
¬c ∨ b
Kolumny po kresce to opcje w pokazanej kolejności.
2.Rachunek zdań i dowody
Odpowiedź: N = 14
Tablice prawdy: formuła z n różnymi zmiennymi ma 2ⁿ wierszy, po jednym dla każdej kombinacji wartości logicznych (1 = prawda, 0 = fałsz). Pracuj od wewnątrz na zewnątrz i każdej podformule daj osobną kolumnę. ¬a odwraca wartość; a ∧ b jest równe 1 tylko wtedy, gdy oba są równe 1; a ∨ b jest równe 0 tylko wtedy, gdy oba są równe 0; a → b jest równe 0 tylko wtedy, gdy a = 1 i b = 0; a ↔ b jest równe 1, gdy obie strony są równe.
Relacje: relacja R na zbiorze X to zbiór par uporządkowanych (x, y). R jest zwrotna, gdy (x, x) ∈ R dla każdego x z X; symetryczna, gdy (x, y) ∈ R zawsze występuje razem z (y, x) ∈ R; antysymetryczna, gdy (x, y) i (y, x) należą do R tylko wtedy, gdy x = y; oraz przechodnia, gdy (x, y) i (y, z) w R wymuszają (x, z) ∈ R. Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia i dzieli X na rozłączne klasy.
Pary do dodania
{(3, 3)}
Policz
k = 1
Odpowiedź
k = 1
4.Zbiory, relacje i funkcje
Odpowiedź: N = 64
Relacje: relacja R na zbiorze X to zbiór par uporządkowanych (x, y). R jest zwrotna, gdy (x, x) ∈ R dla każdego x z X; symetryczna, gdy (x, y) ∈ R zawsze występuje razem z (y, x) ∈ R; antysymetryczna, gdy (x, y) i (y, x) należą do R tylko wtedy, gdy x = y; oraz przechodnia, gdy (x, y) i (y, z) w R wymuszają (x, z) ∈ R. Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia i dzieli X na rozłączne klasy.
Policz dowolne wybory
N = 26 = 64
Odpowiedź
N = 64
5.Teoria grafów
Odpowiedź: L = 17
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Lemat o uściskach dłoni dla drzewa
L + 35 = 2(L + 10) − 2
L = 17
Odpowiedź
L = 17
Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.
6.Teoria grafów
Odpowiedź: krawędź AC
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Algorytm Prima
1. CE (3)
2. DE (1)
3. BD (6)
4. AC (14)
numer krawędzi 4
AC
Odpowiedź
krawędź AC
7.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: x = 53
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Element odwrotny do 43
r = 97, t = 0
r = 43, q = 2, t = 1
r = 11, q = 3, t = −2
r = 10, q = 1, t = 7
r = 1, q = 10, t = −9
43−1 ≡ 88 (mod 97)
Rozwiąż
x ≡ 88·48 = 4224 ≡ 53 (mod 97)
sprawdzenie: 43·53 = 2279 ≡ 48 (mod 97)
Odpowiedź
x = 53
8.Teoria liczb i arytmetyka modularna
Odpowiedź: N = 2
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).