Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący z prędkością 100 km/h hamuje ze stałym opóźnieniem 5 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz drogę hamowania s.
Kamień zostaje upuszczony bez prędkości początkowej do studni. Plusk słychać 2,8 s po puszczeniu kamienia. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s; pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz głębokość d studni.
Klocek o masie 2 kg zsuwa się po gładkiej równi nachylonej pod kątem 25° do poziomu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek o masie 10 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 5,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici.
Piłkę wyrzucono z poziomego terenu pod kątem 40° do poziomu i upadła 90 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v0.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 45° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 60 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz odległość poziomą x pokonaną, zanim piłka uderzy w ziemię.
Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 25 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,7. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.
Kulka na nici o długości 1 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka jest najmniejsza prędkość vmin w najwyższym punkcie, przy której nić jest jeszcze napięta?
Klocek o masie 4 kg zsuwa się na odcinku 3 m po zboczu nachylonym pod kątem 35° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,35. Wyznacz pracę Wf wykonaną przeciw tarciu.
Klocek o masie 2 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 3,5 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 2,5 m (μ = 0,3), a potem trafia na sprężynę (k = 800 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.
Wózek o masie 4,5 kg jadący z prędkością 11 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 4 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′1 pierwszego wózka po zderzeniu (dodatnią w jego pierwotnym kierunku).
Na skrzyżowaniu samochód o masie 1600 kg jadący na wschód z prędkością 25 m/s zderza się z samochodem o masie 1000 kg jadącym na północ z prędkością 12 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz prędkość v′ wraku tuż po zderzeniu.
Klocek o masie 5 kg wisi na lekkiej linie nawiniętej na bloczek, czyli jednorodną pełną tarczę o masie 15,5 kg i promieniu 0,35 m, obracającą się na gładkiej poziomej osi. Klocek puszczono ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Znajdź przyspieszenie kątowe α bloczka.
Jednorodna pełna tarcza (masa 9 kg, promień 0,15 m) wiruje swobodnie z prędkością 350 obr/min na pionowym wale bez tarcia. Cienki pierścień o masie 7 kg i tym samym promieniu spuszczono na nią ze spoczynku, współosiowo z wałem, i obie szybko zaczynają wirować razem. Znajdź ich wspólną prędkość n2 w obr/min.
Koło pasowe 100 mm obracające się z prędkością 720 obr/min napędza przez pas koło 500 mm z poślizgiem 1 %. Wyznacz prędkość obrotową n2 koła napędzanego.
Pas otwarty łączy koło napędzające 150 mm o prędkości 1440 obr/min z kołem 250 mm; środki są oddalone o 500 mm. Współczynnik tarcia wynosi 0,35, a siła w cięgnie czynnym nie może przekroczyć 800 N. Wyznacz największą moc P, jaką pas może przenieść bez poślizgu, w kW (pomiń efekty odśrodkowe).
Ciężarek o masie 1,3 kg na sprężynie o k = 280 N/m zostaje odciągnięty o 4 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego prędkość v w chwili t = 0,2 s (ze znakiem).
Ciało wykonuje ruch harmoniczny z okresem 2,3 s i amplitudą 18 cm. Jaki najkrótszy czas t jest potrzebny, aby przejść z maksymalnego wychylenia 18 cm do wychylenia 12,6 cm?
Masa 200 kg jest podparta na sprężynie o sztywności 50 kN/m i tłumiku wiskotycznym o współczynniku tłumienia 320 N·s/m. Wyznacz współczynnik tłumienia względnego ζ.
Masa 25 kg wisi na dwóch sprężynach połączonych jedna pod drugą (szeregowo): górna sprężyna ma k₁ = 25 kN/m, a dolna k₂ = 30 kN/m. Wyznacz sztywność zastępczą keq układu sprężyn w kN/m.
Odpowiedź: s = 77,16 m
Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.
Odpowiedź: d = 35,65 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Sens fizyczny ma tylko dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: a = 4,146 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: T = 45,25 N
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Odpowiedź: v0 = 29,94 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Odpowiedź: x = 30,35 m
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: vmax = 13,1 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: vmin = 3,132 m/s
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Odpowiedź: Wf = 33,75 J
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: x = 36,73 cm
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.
Odpowiedź: v′1 = 0,6471 m/s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.
Odpowiedź: v′ = 16,06 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: α = 10,99 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Odpowiedź: n2 = 137 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Odpowiedź: n2 = 142,6 rpm
Przekładnie pasowe: bez poślizgu oba koła pasowe mają tę samą prędkość obwodową v = π·d·n/60, więc n₁·d₁ = n₂·d₂, a przełożenie wynosi d₂/d₁. Poślizg s sprawia, że koło napędzane obraca się nieco wolniej: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Przenoszona moc to P = (T₁ − T₂)·v, gdzie T₁ to siła w cięgnie czynnym, a T₂ w biernym. Tarcie ogranicza stosunek sił: T₁/T₂ = eμθ, gdzie θ jest kątem opasania w radianach na mniejszym kole; dla pasa otwartego θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) przy rozstawie osi C.
Odpowiedź: P = 5,816 kW
Przekładnie pasowe: bez poślizgu oba koła pasowe mają tę samą prędkość obwodową v = π·d·n/60, więc n₁·d₁ = n₂·d₂, a przełożenie wynosi d₂/d₁. Poślizg s sprawia, że koło napędzane obraca się nieco wolniej: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Przenoszona moc to P = (T₁ − T₂)·v, gdzie T₁ to siła w cięgnie czynnym, a T₂ w biernym. Tarcie ogranicza stosunek sił: T₁/T₂ = eμθ, gdzie θ jest kątem opasania w radianach na mniejszym kole; dla pasa otwartego θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) przy rozstawie osi C.
Odpowiedź: v = −0,1203 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: t = 0,2912 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: ζ = 0,0506
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, więc tłumienie jest podkrytyczne, a układ drga z malejącą amplitudą.
Odpowiedź: keq = 13,64 kN/m
Drgania swobodne układu masa–sprężyna: pulsacja drgań własnych nietłumionych to ωn = √(k/m) w rad/s, a fn = ωn/(2π) w Hz. Tłumik wiskotyczny c daje współczynnik tłumienia ζ = c/cc, przy tłumieniu krytycznym cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Układ z tłumieniem podkrytycznym (ζ < 1) drga z pulsacją ωd = ωn·√(1 − ζ²). Sztywności sprężyn połączonych równolegle się dodaje, k = k₁ + k₂; dla sprężyn szeregowych dodaje się odwrotności, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Sprężyny szeregowe przenoszą tę samą siłę, a ich ugięcia się sumują, więc łączy się je przez odwrotności: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics