Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W badaniu kohortowym osoby narażone wniosły 4000 osobolat z 140 nowymi przypadkami, a osoby nienarażone 5900 osobolat z 83 nowymi przypadkami. Oblicz iloraz współczynników zapadalności IRR (narażeni w porównaniu z nienarażonymi). Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
narażeni: 140/4000 PYnienarażeni: 83/5900 PY
IRR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 79% i swoistość 90%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 10%. Oblicz dodatnią wartość predykcyjną PPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 79%Sp = 90%p = 10%
PPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 37, 31, 53, 60, 30.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 42,5?
μ = 50σ = 15x = 42,5
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 10 elementów ma średnią 10,5 i odchylenie standardowe s = 19,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 10x̄ = 10,5s = 19,599%t(9) = 3,25
dolna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 5 poletek, średni plon 68,5 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 63,5 kg, odchylenie standardowe 1,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 116,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 4 mm. Linia 2: próba 30 części ma średnią 110,1 mm, znane odchylenie standardowe 15 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 4 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 11. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 95%δ = 4σ = 11zα = 1,645zβ = 1,645
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: IRR = 2,49
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Współczynniki zapadalności
narażeni: 140/4000 = 35 na 1000 osobolat
nienarażeni: 83/5900 = 14,07 na 1000 osobolat
Iloraz współczynników
IRR = 35/14,07 = 2,488 ≈ 2,49
Odpowiedź
IRR = 2,49
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: PPV = 46,7 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie dodatnie (na osobę)
Se·p = 0,79·0,1 = 0,079
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,1·0,9 = 0,09
Dodatnia wartość predykcyjna
PPV = 0,079/(0,079 + 0,09) = 0,4675 ≈ 46,7%
Odpowiedź
PPV = 46,7%
Im niższa chorobowość, tym niższe PPV tego samego testu.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,72
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Odpowiedź
P = 0,6915
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −9,541
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Margines błędu
E = 3,25·19,5/√10 = 20,04
Przedział
10,5 ± 20,04 → [−9,541, 30,54]
Odpowiedź
dolna granica = −9,541
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,984 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (4·9,5² + 6·1,5²)/10 = 37,45
sp = 6,12
Margines błędu
E = 2,228·6,12·√(1/5 + 1/7) = 7,984
Odpowiedź
E = 7,984 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,289
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(4²/50 + 15²/30) = √7,82 = 2,796
Statystyka testowa
z = (116,5 − 110,1)/2,796 = 2,289
Odpowiedź
z = 2,289
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 82
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.