Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 730 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 580 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
leczenie: 169/730kontrola: 191/580
NNT =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 98% i swoistości 87%. Chorobowość wynosi 9%. Ile wyników fałszywie dodatnich FP można oczekiwać?
N = 10 000p = 9%Se = 98%Sp = 87%
FP =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 60, 59, 16, 44, 17, 20, 50.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 26?
μ = 50σ = 20x = 26
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 15 elementów ma średnią 106 i odchylenie standardowe s = 6. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 15x̄ = 106s = 695%t(14) = 2,145
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.
n = 25s = 1,9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 52,1 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,1s = 8n = 64
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 2,5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 6. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 95%δ = 2,5σ = 6zα = 1,645zβ = 1,645
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 11
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 169/730 = 0,2315
CER = 191/580 = 0,3293
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
ARR = 0,3293 − 0,2315 = 0,0978
NNT = 1/0,0978 = 10,22 → 11
Odpowiedź
NNT = 11
Leczenie 11 pacjentów zapobiega mniej więcej jednemu zdarzeniu.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: FP = 1183
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,09 = 900
10 000 − 900 = 9100
Wyniki fałszywie dodatnie
FP = 9100·0,13 = 1183
Odpowiedź
FP = 1183
Spośród 2065 wyników dodatnich tylko 882 dotyczy osób z chorobą (PPV 42,7%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,81
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Odpowiedź
P = 0,8849
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 109,3
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·6/√15 = 3,323
Przedział
106 ± 3,323 → [102,7, 109,3]
Odpowiedź
górna granica = 109,3
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 2,643 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 24·1,9² = 86,64
Granice dla σ²
86,64/39,364 = 2,201
86,64/12,401 = 6,987
Granica dla σ
σ = √6,987 = 2,643 µm
Odpowiedź
σ = 2,643 µm
Przedział 95 % dla σ: [1,484, 2,643] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Statystyka testowa
t = (52,1 − 50)/1 = 2,1
Odpowiedź
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 63
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.