Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 220 pacjentów z chorobą (przypadki) i 790 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 70b = 150c = 150d = 640
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 94% i swoistość 95%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 20%. Oblicz dodatnią wartość predykcyjną PPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 94%Sp = 95%p = 20%
PPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 48, 40, 37, 44, 45, 13.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 75.
μ = 60σ = 12x = 75
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 15 elementów ma średnią 97,5 i odchylenie standardowe s = 8. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 15x̄ = 97,5s = 890%t(14) = 1,761
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 75,5 kg, odchylenie standardowe 9 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 77,5 kg, odchylenie standardowe 7 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 16 studentów ma średni wynik 71,5 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,5s = 10n = 16
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 100 pomiarów ma średnią 202,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 202,4σ = 15n = 10095%
U =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 1,99
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 70/150 = 0,4667
kontrole: 150/640 = 0,2344
Iloraz szans
OR = (70·640)/(150·150) = 1,991 ≈ 1,99
Odpowiedź
OR = 1,99
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: PPV = 82,5 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie dodatnie (na osobę)
Se·p = 0,94·0,2 = 0,188
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,05·0,8 = 0,04
Dodatnia wartość predykcyjna
PPV = 0,188/(0,188 + 0,04) = 0,8246 ≈ 82,5%
Odpowiedź
PPV = 82,5%
Im niższa chorobowość, tym niższe PPV tego samego testu.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,86
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (75 − 60)/12 = 1,25
Odpowiedź
z = 1,25
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 101,1
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Margines błędu
E = 1,761·8/√15 = 3,638
Przedział
97,5 ± 3,638 → [93,86, 101,1]
Odpowiedź
górna granica = 101,1
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 6,762 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (6·9² + 4·7²)/10 = 68,2
sp = 8,258
Margines błędu
E = 1,812·8,258·√(1/7 + 1/5) = 8,762
Przedział
−2 ± 8,762 → [−10,76, 6,762]
Odpowiedź
górna granica = 6,762 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Statystyka testowa
t = (71,5 − 75)/2,5 = −1,4
Odpowiedź
t = −1,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 205,3
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).