Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test ma czułość 81% i swoistość 70%. Oblicz dodatni iloraz wiarygodności LR+. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Se = 81%Sp = 70%
LR+ =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Przebadano 10 000 osób testem o czułości 70% i swoistości 78%. Chorobowość wynosi 1%. Ile wyników dodatnich n₊ można oczekiwać łącznie?
N = 10 000p = 1%Se = 70%Sp = 78%
n₊ =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 10, 51, 55, 16, 56.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 110.
μ = 100σ = 10x = 110
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 106 h, znane odchylenie standardowe 11 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 91,5 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
Średnice 10 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 5,3 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 9 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 2,7, a 2,5 % powyżej 19,023.
n = 10s = 5,3 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 25 studentów ma średni wynik 109,6 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 109,6s = 20n = 25
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 23. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 80%δ = 3σ = 23zα = 2,326zβ = 0,842
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: LR+ = 2,7
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Dodatni iloraz wiarygodności
LR+ = 0,81/(1 − 0,7) = 2,7
Odpowiedź
LR+ = 2,7
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: n₊ = 2248
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Z chorobą i bez choroby
10 000·0,01 = 100
10 000 − 100 = 9900
Wszystkie wyniki dodatnie
TP = 100·0,7 = 70
FP = 9900·0,22 = 2178
n₊ = 70 + 2178 = 2248
Odpowiedź
n₊ = 2248
Spośród 2248 wyników dodatnich tylko 70 dotyczy osób z chorobą (PPV 3,1%).
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 22,63
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (110 − 100)/10 = 1
Odpowiedź
z = 1
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 4,597 h
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 106 − 91,5 = 14,5
Błąd standardowy
SE = √(11²/40 + 4²/100) = 1,785
Margines błędu
E = 2,576·1,785 = 4,597
Odpowiedź
E = 4,597 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 9,676 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 9·5,3² = 252,8
Granice dla σ²
252,8/19,023 = 13,29
252,8/2,7 = 93,63
Granica dla σ
σ = √93,63 = 9,676 µm
Odpowiedź
σ = 9,676 µm
Przedział 95 % dla σ: [3,646, 9,676] µm.
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Statystyka testowa
t = (109,6 − 100)/4 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 590
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.