Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Badanie kliniczno-kontrolne porównuje 90 pacjentów z chorobą (przypadki) i 260 osób bez niej (kontrole). Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie było narażonych na czynnik ryzyka. Oblicz iloraz szans OR dla narażenia. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
a = 47b = 70c = 43d = 190
OR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Test przesiewowy ma czułość 82% i swoistość 89%. Stosuje się go w populacji, w której chorobowość wynosi 20%. Oblicz ujemną wartość predykcyjną NPV w procentach. Zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku.
Se = 82%Sp = 89%p = 20%
NPV = %
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 20, 13, 10, 35, 20.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 92.
μ = 100σ = 8x = 92
z =
5.Przedziały ufnościŚredni
Próba 30 elementów ma średnią 60,5 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 30x̄ = 60,5s = 2090%t(29) = 1,699
górna granica =
6.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?
σ = 17E = 395%
n =
7.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 14 uczniów, średni wynik 116, odchylenie standardowe 10. Grupa 2: 12 uczniów, średni wynik 124,6, odchylenie standardowe 2,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).
n₁ = 14x̄₁ = 116s₁ = 10n₂ = 12x̄₂ = 124,6s₂ = 2,5
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 15E = 2,590%
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: OR = 2,97
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Szanse narażenia
przypadki: 47/43 = 1,093
kontrole: 70/190 = 0,3684
Iloraz szans
OR = (47·190)/(70·43) = 2,967 ≈ 2,97
Odpowiedź
OR = 2,97
OR powyżej 1: narażenie jest częstsze wśród przypadków.
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NPV = 95,2 %
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Wyniki prawdziwie i fałszywie ujemne (na osobę)
Sp·(1 − p) = 0,89·0,8 = 0,712
(1 − Se)·p = 0,18·0,2 = 0,036
Ujemna wartość predykcyjna
NPV = 0,712/(0,712 + 0,036) = 0,9519 ≈ 95,2%
Odpowiedź
NPV = 95,2%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 8,643
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (92 − 100)/8 = −1
Odpowiedź
z = −1
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 66,7
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Margines błędu
E = 1,699·20/√30 = 6,204
Przedział
60,5 ± 6,204 → [54,3, 66,7]
Odpowiedź
górna granica = 66,7
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 124
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·17/3)² = 123,4
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 124
Odpowiedź
n = 124
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,895
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Wariancja łączna
sp² = (13·10² + 11·2,5²)/24 = 57,03
sp = 7,552
Błąd standardowy
SE = 7,552·√(1/14 + 1/12) = 2,971
Statystyka testowa
t = (116 − 124,6)/2,971 = −2,895
Odpowiedź
t = −2,895
Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 98
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).