Narysuj tabelę 2 × 2 i oznacz a, b, c i d, zanim zaczniesz liczyć.
Czułość i swoistość odczytuj w kolumnach, a wartości predykcyjne wzdłuż wierszy.
Dla innej chorobowości wyobraź sobie 10 000 osób i wypełnij tabelę za pomocą Se, Sp i chorobowości.
Dla ilorazu wiarygodności przelicz prawdopodobieństwo na szanse, pomnóż i przelicz z powrotem.
W badaniu klinicznym najpierw znajdź EER i CER; następnie RR = EER/CER, ARR = CER − EER i NNT = 1/ARR zaokrąglone w górę.
Statystyka opisowa
Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Przedziały ufności
σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n
Metoda
Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodachŚredni
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). W randomizowanym badaniu klinicznym 180 pacjentów otrzymało nowe leczenie, a 110 leczenie kontrolne. Tabela pokazuje, ilu w każdej grupie miało: wynik (niepożądane zdarzenie, np. udar). Oblicz ryzyko względne RR zdarzenia przy leczeniu. Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
leczenie: 5/180kontrola: 8/110
RR =
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodachTrudny
Ćwiczenie (wymyślone wartości, nie stanowią wskazówek klinicznych). Leczenie zmniejsza ryzyko zdarzenia o 47% w ujęciu względnym (RRR = 47%). W grupie pacjentów ryzyko bez leczenia (CER) wynosi 10% w ciągu pięciu lat. Oblicz liczbę pacjentów, których trzeba leczyć NNT przez pięć lat, aby zapobiec jednemu zdarzeniu. Zaokrąglij w górę do pełnej liczby pacjentów.
RRR = 47%CER = 10%
NNT =
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 52, 54, 16, 22, 28.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 150?
μ = 170σ = 20x = 150
P =
5.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 63,5 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 77 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
Próba 49 studentów ma średni wynik 79,97 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 79,97s = 12n = 49
t =
8.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 1 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 90%δ = 1σ = 4zα = 2,326zβ = 1,282
n =
3Roztwory
1.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: RR = 0,38
Ilorazy wiarygodności i miary ryzyka: LR+ = czułość/(1 − swoistość), LR− = (1 − czułość)/swoistość. W badaniu klinicznym EER i CER to częstości zdarzeń z leczeniem i bez leczenia: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER i NNT = 1/ARR, zaokrąglone w górę. W badaniu kliniczno-kontrolnym można użyć wyłącznie ilorazu szans OR = ad/(bc). Współczynnik zapadalności = nowe przypadki/osobo-czas.
Częstość zdarzeń
EER = 5/180 = 0,02778
CER = 8/110 = 0,07273
Ryzyko względne
RR = 0,02778/0,07273 = 0,3819 ≈ 0,38
Odpowiedź
RR = 0,38
2.Statystyka w praktyce opartej na dowodach
Odpowiedź: NNT = 22
Wartości predykcyjne zależą od chorobowości: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) i NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Z ilorazami wiarygodności: szanse przedtestowe = p/(1 − p), szanse potestowe = szanse przedtestowe × LR, prawdopodobieństwo = szanse/(1 + szanse). Dla populacji N prawdziwie dodatnie = N·p·Se, a fałszywie dodatnie = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), zaokrąglone w górę.
Zmniejszenie ryzyka bezwzględnego
ARR = 0,1·0,47 = 0,047
Liczba pacjentów, których trzeba leczyć
NNT = 1/0,047 = 21,28 → 22
Odpowiedź
NNT = 22
Ten sam efekt względny daje mniejsze NNT, gdy ryzyko wyjściowe jest wyższe.
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,25
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
5.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,378 h
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 77 = −13,5
Błąd standardowy
SE = √(4²/40 + 13²/100) = 1,446
Margines błędu
E = 1,645·1,446 = 2,378
Odpowiedź
E = 2,378 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
6.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 15,09 kg
Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (10·8,5² + 4·3,5²)/14 = 55,11
sp = 7,423
Margines błędu
E = 2,145·7,423·√(1/11 + 1/5) = 8,588
Przedział
6,5 ± 8,588 → [−2,088, 15,09]
Odpowiedź
górna granica = 15,09 kg
7.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,899
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Statystyka testowa
t = (79,97 − 75)/1,714 = 2,899
Odpowiedź
t = 2,899
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
8.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 209
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.