Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (cegła) i 50 mm (drewno), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 17 °C i 7 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (cegła) i 150 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -15 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 240 kW. Gorący płyn stygnie od 170 do 135 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 145 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 240 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 170 → 135 °CTc: 25 → 145 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 140 do 95 °C. Woda (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 15 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 20 mm, a U = 300 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 95 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 15,09 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,01818 = 550,1 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 550,1·0,003472 = 15,09 °C
Odpowiedź
Ti = 15,09 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,6914 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·20) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,07231 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,07231) = 0,6914 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,6914 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 4,183 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 145 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 25 = 110 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 110)/ln(25/110) = 57,37 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 240000/(1000·57,37) = 4,183 m²
Odpowiedź
A = 4,183 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 53,24 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 1·2,1·(140 − 95) = 94,5 kW
Tc,out = 15 + 94,5/(1,5·4,18) = 30,07 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 30,07 = 109,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 15 = 80 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (109,9 − 80)/ln(109,9/80) = 94,17 K
Powierzchnia i długość
A = 94500/(300·94,17) = 3,345 m²
L = A/(πD) = 3,345/(π·0,02) = 53,24 m
Odpowiedź
L = 53,24 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer