Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (styropian) i 25 mm (płyta gipsowo-kartonowa), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 21 °C i 3 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 21 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (wełna mineralna) i 25 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -12 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła (jeden przepływ w płaszczu, dwa przepływy w rurach) ma przekazywać 700 kW. Gorący płyn stygnie od 150 do 45 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 25 °C. Współczynnik poprawkowy LMTD dla tego układu wynosi F = 0,92, a U = 800 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 700 kWF = 0,92U = 800 W/(m²·K)Th: 150 → 45 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Para skrapla się w stałej temperaturze 105 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 4 m² i U = 3000 W/(m²·K). Woda chłodząca (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 30 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.
Ts = 105 °CA = 4 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 119,8 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·20) = 0,007353 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,1502 = 119,8 W
Odpowiedź
Q̇ = 119,8 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 20,49 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·8) = 0,7813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,8163 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-12))/0,8163 = 40,43 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 40,43·0,0125 = 20,49 °C
Odpowiedź
Ts = 20,49 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 14,29 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach (przeciwprąd)
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 25 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 30)/ln(125/30) = 66,57 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 700000/(800·0,92·66,57) = 14,29 m²
Odpowiedź
A = 14,29 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Tc,out = 93,94 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła
Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·4/(1,5·4180) = 1,914
Temperatura na wylocie
ΔT₂ = ΔT₁·e−1,914 = 75·0,1475 = 11,06 K
Tc,out = 105 − 11,06 = 93,94 °C
Odpowiedź
Tc,out = 93,94 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 400,9 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer