Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Drewno, k = 0,17250 mmBeton, k = 1,4150 mm22 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 250 mm (drewno) i 150 mm (beton), a jej pole wynosi 8 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 22 °C i -10 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 22 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17100 mmBeton, k = 1,4100 mmpomieszczenie 22 °Cna zewnątrz -13 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 100 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 100 mm (beton) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -13 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 6 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT125 °C75 °C30 °C45 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 440 kW. Gorący płyn stygnie od 125 do 75 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 45 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 440 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 125 → 75 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT110 °C??20 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 4 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 110 °C, a zimny 20 °C. Wymiennik ma A = 6 m² i U = 200 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.

Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 110 °CTc,in = 20 °CA = 6 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = −7,827 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·8) = 0,1838 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,1972 = 162,3 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 162,3·0,1838 = −7,827 °C

Odpowiedź

Ti = −7,827 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 15,27 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·6) = 0,0119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,1444 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (22 − (-13))/0,1444 = 242,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 242,4·0,02778 = 15,27 °C

Odpowiedź

Ts = 15,27 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 7,803 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 30 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 45 = 30 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 30)/ln(95/30) = 56,39 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(1000·56,39) = 7,803 m²

Odpowiedź

A = 7,803 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Th,out = 89,23 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Stała różnica temperatur

Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła

4·(110 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 20)
Th,out = (4·110 + 1,2·20)/(4 + 1,2) = 89,23 °C

Odpowiedź

Th,out = 89,23 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 83,08 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 40,77 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer