Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 100 mm (styropian), a jej pole wynosi 8 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i -7 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 50 mm (wełna mineralna) i 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -15 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 20 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 2,5 m². Gorący płyn stygnie od 85 do 45 °C, a zimny nagrzewa się od 25 do 40 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.
Q̇ = 20 kWA = 2,5 m²Th: 85 → 45 °CTc: 25 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) stygnie od 95 do 75 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 0,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 10 °C. Przy U = 300 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 57,3 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·8) = 0,1838 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·8) = 0,3571 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,541 = 57,3 W
Odpowiedź
Q̇ = 57,3 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 420,3 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,08804 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (22 − (-15))/0,08804 = 420,3 W
Odpowiedź
Q̇ = 420,3 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: U = 259,5 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 40 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 25 = 20 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 20)/ln(45/20) = 30,83 K
Współczynnik przenikania
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 20000/(2,5·30,83) = 259,5 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 259,5 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 1,209 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·20 = 25 kW
Tc,out = 10 + 25/(0,5·4,18) = 21,96 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 21,96 = 73,04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 10 = 65 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (73,04 − 65)/ln(73,04/65) = 68,94 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 25000/(300·68,94) = 1,209 m²
Odpowiedź
A = 1,209 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer