Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (szkło) i 50 mm (wełna mineralna), a jej pole wynosi 6 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 18 °C i -10 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 200 mm (wełna mineralna) i 50 mm (beton) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -5 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 6 m². Wyznacz straty ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Płaszczowo-rurowy wymiennik ciepła (jeden przepływ w płaszczu, dwa przepływy w rurach) ma przekazywać 630 kW. Gorący płyn stygnie od 80 do 35 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 40 °C. Współczynnik poprawkowy LMTD dla tego układu wynosi F = 0,9, a U = 300 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 630 kWF = 0,9U = 300 W/(m²·K)Th: 80 → 35 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) stygnie od 110 do 75 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 2 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 15 °C. Przy U = 1500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 110 → 75 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 13,17 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·6) = 0,0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,2517 = 111,2 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 111,2·0,0434 = 13,17 °C
Odpowiedź
Ti = 13,17 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 30 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·6) = 0,8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,8668 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-5))/0,8668 = 30 W
Odpowiedź
Q̇ = 30 W
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 91,54 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach (przeciwprąd)
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 40 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 20 = 15 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 15)/ln(40/15) = 25,49 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 630000/(300·0,9·25,49) = 91,54 m²
Odpowiedź
A = 91,54 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 0,746 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·35 = 80,5 kW
Tc,out = 15 + 80,5/(2·4,18) = 24,63 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 24,63 = 85,37 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 15 = 60 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85,37 − 60)/ln(85,37/60) = 71,94 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80500/(1500·71,94) = 0,746 m²
Odpowiedź
A = 0,746 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer