Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Styropian, k = 0,035250 mmCegła, k = 0,7250 mm21 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 250 mm (styropian) i 50 mm (cegła), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 21 °C i -11 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 21 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Beton, k = 1,4250 mmDrewno, k = 0,17150 mmpomieszczenie 20 °Cna zewnątrz 4 °CQ̇

Ściana z 250 mm (beton) i 150 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 4 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT120 °C105 °C15 °C85 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 430 kW. Gorący płyn stygnie od 120 do 105 °C, a zimny nagrzewa się od 15 do 85 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1500 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 430 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 120 → 105 °CTc: 15 → 85 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT100 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂kondensująca para

Para skrapla się w stałej temperaturze 100 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 4 m² i U = 3000 W/(m²·K). Woda chłodząca (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 10 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.

Ts = 100 °CA = 4 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = −10,69 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·15) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,4808 = 66,55 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 66,55·0,4762 = −10,69 °C

Odpowiedź

Ti = −10,69 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: U = 0,8059 W/(m²·K)

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·20) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,06204 K/W

Współczynnik przenikania

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,06204) = 0,8059 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 0,8059 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 5,592 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 15 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 105 − 85 = 20 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 20)/ln(105/20) = 51,26 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 430000/(1500·51,26) = 5,592 m²

Odpowiedź

A = 5,592 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Tc,out = 86,72 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła

Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·4/(1,5·4180) = 1,914

Temperatura na wylocie

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,914 = 90·0,1475 = 13,28 K
Tc,out = 100 − 13,28 = 86,72 °C

Odpowiedź

Tc,out = 86,72 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 481,1 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer