Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (wełna mineralna) i 25 mm (styropian), a jej pole wynosi 6 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 20 °C i -15 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 100 mm (cegła) i 100 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 1 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 200 kW. Gorący płyn stygnie od 150 do 65 °C, a zimny nagrzewa się od 30 do 85 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 300 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 200 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 150 → 65 °CTc: 30 → 85 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła oba strumienie mają tę samą pojemność cieplną strumienia, ṁ·cp = 1,5 kW/K. Gorący strumień wpływa z temperaturą 130 °C, a zimny 25 °C. Wymiennik ma A = 1 m² i U = 800 W/(m²·K). Wyznacz temperaturę gorącego strumienia na wylocie Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 130 °CTc,in = 25 °CA = 1 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 65,33 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·6) = 0,119 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/0,5357 = 65,33 W
Odpowiedź
Q̇ = 65,33 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 1,103 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,04535 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,04535) = 1,103 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 1,103 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 13,76 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 85 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 35)/ln(65/35) = 48,46 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(300·48,46) = 13,76 m²
Odpowiedź
A = 13,76 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Th,out = 93,48 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Stała różnica temperatur
Wylot zimnego strumienia leży naprzeciw wlotu gorącego: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), więc ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilans energii równy równaniu wymiany ciepła
1,5·(130 − Th,out) = 0,8·(Th,out − 25)
Th,out = (1,5·130 + 0,8·25)/(1,5 + 0,8) = 93,48 °C
Odpowiedź
Th,out = 93,48 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 54,78 kW; zimny strumień wypływa z temperaturą 61,52 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer