Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Wełna mineralna, k = 0,04150 mmBeton, k = 1,425 mm15 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 150 mm (wełna mineralna) i 25 mm (beton), a jej pole wynosi 20 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 15 °C i -11 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Szkło, k = 0,96100 mmBeton, k = 1,4100 mmpomieszczenie 20 °Cna zewnątrz 3 °CQ̇

Ściana z 100 mm (szkło) i 100 mm (beton) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze 3 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 8 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 12 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT175 °C120 °C70 °C10 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 270 kW. Gorący płyn stygnie od 175 do 120 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 70 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 800 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 270 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 175 → 120 °CTc: 10 → 70 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT140 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂kondensująca para

Para skrapla się w stałej temperaturze 140 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 5 m² i U = 1500 W/(m²·K). Woda chłodząca (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 25 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.

Ts = 140 °CA = 5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = −10,88 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·20) = 0,0008929 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1884 = 138 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 138·0,1875 = −10,88 °C

Odpowiedź

Ti = −10,88 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: U = 2,936 W/(m²·K)

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,02838 K/W

Współczynnik przenikania

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,02838) = 2,936 W/(m²·K)

Odpowiedź

U = 2,936 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 3,14 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 70 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 10 = 110 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 110)/ln(105/110) = 107,5 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(800·107,5) = 3,14 m²

Odpowiedź

A = 3,14 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: Tc,out = 105,2 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła

Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·5/(1,5·4180) = 1,196

Temperatura na wylocie

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 115·0,3023 = 34,77 K
Tc,out = 140 − 34,77 = 105,2 °C

Odpowiedź

Tc,out = 105,2 °C

Przekazane ciepło: Q̇ = 503 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer