Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 250 mm (beton) i 150 mm (styropian), a jej pole wynosi 15 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 16 °C i 3 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 16 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (szkło) i 25 mm (cegła) oddziela pomieszczenie o temperaturze 21 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -13 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 320 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 12 m². Gorący płyn stygnie od 145 do 130 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 50 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.
Q̇ = 320 kWA = 12 m²Th: 145 → 130 °CTc: 10 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Para skrapla się w stałej temperaturze 105 °C na zewnętrznej powierzchni rur skraplacza o powierzchni wymiany ciepła 1 m² i U = 2500 W/(m²·K). Woda chłodząca (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływa do rur z temperaturą 25 °C. Wyznacz temperaturę wody na wylocie Tc,out.
Ts = 105 °CA = 1 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 43,68 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·15) = 0,0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,2976 = 43,68 W
Odpowiedź
Q̇ = 43,68 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 13,19 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·20) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·20) = 0,001736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,02176 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (21 − (-13))/0,02176 = 1563 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 1563·0,005 = 13,19 °C
Odpowiedź
Ts = 13,19 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: U = 249,2 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 50 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 120)/ln(95/120) = 107 K
Współczynnik przenikania
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 320000/(12·107) = 249,2 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 249,2 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: Tc,out = 51,31 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Połącz bilans energii z równaniem wymiany ciepła
Przy ΔT₁ = Ts − Tc,in i ΔT₂ = Ts − Tc,out różnica ΔT₁ − ΔT₂ jest równa przyrostowi temperatury wody, więc przyrost się skraca.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·1/(1,5·4180) = 0,3987
Temperatura na wylocie
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3987 = 80·0,6712 = 53,69 K
Tc,out = 105 − 53,69 = 51,31 °C
Odpowiedź
Tc,out = 51,31 °C
Przekazane ciepło: Q̇ = 164,9 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer