Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 100 mm (beton) i 150 mm (szkło), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i 5 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 100 mm (beton) i 50 mm (szkło) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -13 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 10 W/(m²·K) wewnątrz i 30 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Przeciwprądowy wymiennik ciepła przekazuje 220 kW. Jego powierzchnia wymiany ciepła wynosi 2 m². Gorący płyn stygnie od 135 do 55 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 85 °C. Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U.
Q̇ = 220 kWA = 2 m²Th: 135 → 55 °CTc: 10 → 85 °C
U = W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
W przeciwprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (0,8 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 155 do 65 °C. Woda (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 20 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 25 mm, a U = 300 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 65 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ti = 18,04 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,05692 = 333,8 W
Temperatura na styku
Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 333,8·0,01786 = 18,04 °C
Odpowiedź
Ti = 18,04 °C
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Ts = 8,373 °C
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,03211 K/W
Straty ciepła
Q̇ = (22 − (-13))/0,03211 = 1090 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 1090·0,0125 = 8,373 °C
Odpowiedź
Ts = 8,373 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: U = 2318 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 85 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 45)/ln(50/45) = 47,46 K
Współczynnik przenikania
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(2·47,46) = 2318 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 2318 W/(m²·K)
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 162,8 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 0,8·2,5·(155 − 65) = 180 kW
Tc,out = 20 + 180/(0,5·4,18) = 106,1 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 106,1 = 48,88 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (48,88 − 45)/ln(48,88/45) = 46,91 K
Powierzchnia i długość
A = 180000/(300·46,91) = 12,79 m²
L = A/(πD) = 12,79/(π·0,025) = 162,8 m
Odpowiedź
L = 162,8 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer