Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 200 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 50 mm (szkło), a jej pole wynosi 12 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 16 °C i 3 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 3 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 250 mm (cegła) i 150 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -6 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 20 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -6 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 90 kW. Gorący płyn stygnie od 80 do 40 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 35 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 90 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 80 → 40 °CTc: 20 → 35 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
Gorący olej (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) stygnie od 135 do 70 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 2 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 25 °C. Przy U = 300 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 70 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 127 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,1024 = 127 W
Odpowiedź
Q̇ = 127 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,6963 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·20) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,07181 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,07181) = 0,6963 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,6963 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 4,066 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 40 − 35 = 5 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 5)/ln(60/5) = 22,13 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(1000·22,13) = 4,066 m²
Odpowiedź
A = 4,066 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 7,577 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·65 = 149,5 kW
Tc,out = 25 + 149,5/(2·4,18) = 42,88 °C
Różnice temperatur na końcach
W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 42,88 = 92,12 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 25 = 45 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (92,12 − 45)/ln(92,12/45) = 65,77 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 149500/(300·65,77) = 7,577 m²
Odpowiedź
A = 7,577 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer