Przewodzenie ciepła
- Prawo Fouriera
- Q̇ = kAΔT/L
- Opór cieplny przewodzenia
- R = L/(kA)
- Opór cieplny konwekcji
- R = 1/(hA)
- Opory szeregowo
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Współczynnik U
- U = 1/(ΣR·A)
Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Wymienniki ciepła (LMTD)
- Moc cieplna
- Q = U·A·ΔTlm
- Średnia logarytmiczna różnica temperatur
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilans strumieni
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Zadania do ćwiczenia
1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Ściana składa się z 50 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 50 mm (wełna mineralna), a jej pole wynosi 4 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i -4 °C. Wyznacz strumień ciepła Q̇ przez ścianę.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Ściana z 100 mm (wełna mineralna) i 100 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 20 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -13 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 6 W/(m²·K) wewnątrz i 25 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 8 m². Wyznacz współczynnik przenikania ciepła U ściany.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 210 kW. Gorący płyn stygnie od 130 do 90 °C, a zimny nagrzewa się od 10 do 40 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 200 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.
Q̇ = 210 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 90 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
We współprądowym wymienniku ciepła typu rura w rurze gorący olej (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) płynie w rurze wewnętrznej i stygnie od 110 do 60 °C. Woda (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) w przestrzeni pierścieniowej wpływa z temperaturą 20 °C. Rura wewnętrzna ma średnicę 32 mm, a U = 500 W/(m²·K) odnosi się do tej średnicy. Wyznacz potrzebną długość rury L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 110 → 60 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m
3Roztwory
1.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: Q̇ = 72,53 W
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory warstw
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·4) = 0,3125 K/W
Strumień ciepła
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,386 = 72,53 W
Odpowiedź
Q̇ = 72,53 W
2.Przewodzenie ciepła
Odpowiedź: U = 0,3035 W/(m²·K)
Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.
Opory szeregowo
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4119 K/W
Współczynnik przenikania
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,4119) = 0,3035 W/(m²·K)
Odpowiedź
U = 0,3035 W/(m²·K)
3.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: A = 13,13 m²
Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 40 = 50 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 50)/ln(120/50) = 79,96 K
Powierzchnia
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 210000/(200·79,96) = 13,13 m²
Odpowiedź
A = 13,13 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)
Odpowiedź: L = 29,15 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Moc cieplna i temperatura wody na wylocie
Q̇ = 0,5·2,3·(110 − 60) = 57,5 kW
Tc,out = 20 + 57,5/(0,5·4,18) = 47,51 °C
Różnice temperatur na końcach
We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 20 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 47,51 = 12,49 K
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 12,49)/ln(90/12,49) = 39,25 K
Powierzchnia i długość
A = 57500/(500·39,25) = 2,93 m²
L = A/(πD) = 2,93/(π·0,032) = 29,15 m
Odpowiedź
L = 29,15 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer