Wymiana ciepła: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Przewodzenie ciepła

Prawo Fouriera
Q̇ = kAΔT/L
Opór cieplny przewodzenia
R = L/(kA)
Opór cieplny konwekcji
R = 1/(hA)
Opory szeregowo
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Współczynnik U
U = 1/(ΣR·A)

Wymienniki ciepła (LMTD)

Moc cieplna
Q = U·A·ΔTlm
Średnia logarytmiczna różnica temperatur
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilans strumieni
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Zadania do ćwiczenia

1.Przewodzenie ciepłaŚredni
Beton, k = 1,4100 mmStyropian, k = 0,03525 mm24 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

Ściana składa się z 100 mm (beton) i 25 mm (styropian), a jej pole wynosi 10 m². Powierzchnie zewnętrzne mają 24 °C i -10 °C. Wyznacz temperaturę Ti na styku dwóch warstw.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.Przewodzenie ciepłaTrudny
Płyta gipsowo-kartonowa, k = 0,17200 mmDrewno, k = 0,1775 mmpomieszczenie 22 °Cna zewnątrz -11 °CTs​ = ?Q̇

Ściana z 200 mm (płyta gipsowo-kartonowa) i 75 mm (drewno) oddziela pomieszczenie o temperaturze 22 °C od powietrza zewnętrznego o temperaturze -11 °C. Współczynniki przejmowania ciepła wynoszą 7,7 W/(m²·K) wewnątrz i 20 W/(m²·K) na zewnątrz, a pole ściany 10 m². Wyznacz temperaturę Ts wewnętrznej powierzchni ściany.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)Średni
długośćT145 °C125 °C20 °C30 °CΔT₁ΔT₂współprąd

Współprądowy wymiennik ciepła przekazuje 150 kW. Gorący płyn stygnie od 145 do 125 °C, a zimny nagrzewa się od 20 do 30 °C. Współczynnik przenikania ciepła wynosi 1000 W/(m²·K). Wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

Q̇ = 150 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 145 → 125 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)Trudny
długośćT95 °C55 °C48,92 °C25 °CΔT₁ΔT₂przeciwprąd

Gorący olej (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) stygnie od 95 do 55 °C w wymienniku przeciwprądowym. Podgrzewa 1,5 kg/s wody (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) wpływającej z temperaturą 25 °C. Przy U = 1500 W/(m²·K) wyznacz potrzebną powierzchnię wymiany ciepła A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Roztwory

1.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ti = 20,91 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory warstw

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·10) = 0,07143 K/W

Strumień ciepła

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,07857 = 432,7 W

Temperatura na styku

Na pierwszej warstwie temperatura spada o Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 432,7·0,007143 = 20,91 °C

Odpowiedź

Ti = 20,91 °C
2.Przewodzenie ciepła

Odpowiedź: Ts = 19,62 °C

Opór cieplny: ustalony przepływ ciepła przez warstwy połączone szeregowo zachowuje się jak prąd w rezystorach szeregowych: Q̇ = ΔT/ΣR, gdzie R = L/(kA) dla warstwy przewodzącej i R = 1/(hA) dla powierzchni z konwekcją. Spadek temperatury na każdej warstwie jest proporcjonalny do jej oporu.

Opory szeregowo

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·10) = 0,04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1798 K/W

Straty ciepła

Q̇ = (22 − (-11))/0,1798 = 183,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 183,6·0,01299 = 19,62 °C

Odpowiedź

Ts = 19,62 °C
3.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 1,372 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Różnice temperatur na końcach

We współprądzie oba wloty są na tym samym końcu, a oba wyloty na drugim.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 20 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 30 = 95 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 95)/ln(125/95) = 109,3 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1000·109,3) = 1,372 m²

Odpowiedź

A = 1,372 m²
4.Wymienniki ciepła (LMTD)

Odpowiedź: A = 2,669 m²

Metoda LMTD: różnica temperatur między strumieniami zmienia się wzdłuż wymiennika, więc równanie wymiany używa jej średniej logarytmicznej: Q̇ = U·A·ΔTlm, gdzie ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), a ΔT₁ i ΔT₂ to różnice na obu końcach. Przy tych samych temperaturach wlotowych i wylotowych przeciwprąd daje większe ΔTlm niż współprąd.

Moc cieplna i temperatura wody na wylocie

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·40 = 150 kW
Tc,out = 25 + 150/(1,5·4,18) = 48,92 °C

Różnice temperatur na końcach

W przeciwprądzie gorący wlot jest naprzeciw zimnego wylotu, a gorący wylot naprzeciw zimnego wlotu.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 48,92 = 46,08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Średnia logarytmiczna różnica temperatur

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (46,08 − 30)/ln(46,08/30) = 37,47 K

Powierzchnia

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1500·37,47) = 2,669 m²

Odpowiedź

A = 2,669 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer